YBT 山区建小学

题目描述

　　政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共n个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di​（为正整数），其中，0<i<n。为了提高山区的文化素质，政府又决定从n个村中选择m个村建小学。请根据给定的n、m以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

输入格式

 　　第1行为n和m，其间用空格间隔。

　　第2行为n-1个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

　　例如

　　10 3

　　2 4 6 5 2 4 3 1 3

　　表示在10个村庄中建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，...，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出格式

 　　各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

输入样例

10 2

3 1 3 1 1 1 1 1 3

输出样例

18

题解

　　我们设$s[i][j]$为村庄$i$到村庄$j$间修小学的最短距离。

　　贪心一下即可知，当我们把小学放到村庄$left lfloor frac{i + j}{2} ight floor$时，距离最短。

　　我们设$dp[i][j]$为村庄$1$到村庄$i$间修$j$所小学的最短距离，容易得到$dp[i][j] = underset{1 leqslant k < i}{min} left { dp[k][j - 1] + s[k + 1][i] ight }$

#include <iostream>
#include <cstdio>

#define MAX_N (500 + 5)
#define MAX_M (500 + 5) 

using namespace std;

int n, m;
int a[MAX_N][MAX_N];
int s[MAX_N][MAX_N];
int dp[MAX_N][MAX_M];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(register int i = 1; i < n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i][i + 1]);
        for(register int j = i - 1; j; --j)
        {
            a[j][i + 1] = a[j][j + 1] + a[j + 1][i + 1];
        }
    }
    int mid;
    for(register int i = 1; i < n; ++i)
    {
        for(register int j = i + 1; j <= n; ++j)
        {
            mid = i + j >> 1;
            for(register int k = 0; i + k <= mid; ++k)
            {
                s[i][j] += a[i + k][j - k];
            }
        }    
    }
    for(register int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        dp[i][1] = s[1][i];
        for(register int j = 2; j <= i && j <= m; ++j)
        {
            dp[i][j] = 2147483647;
            for(register int k = 1; k < i; ++k)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j - 1] + s[k + 1][i]);
            }
        }
    }
    printf("%d", dp[n][m]);
    return 0;
}