【题解】Antisymmetry

题目大意

        对于一个01字符串，如果将这个字符串0和1取反后，再将整个串反过来和原串一样，就称作“反对称”字符串。比如00001111和010101就是反对称的，1001就不是。

        现在给出一个长度为N的01字符串，求它有多少个子串是反对称的。

 

输入样例

        第一行一个正整数N (N ≤ 500,000)。第二行一个长度为N的01字符串。

输出样例

        一个正整数，表示反对称子串的个数。

输入样例

8

11001011

输出样例

7

题解

        最简单的方法就是二分+Hash了。

        我们可以想，对于每个点$i$，如果字符串$[i - j + 1...i + j]$为反对称的，则对于满足$1 leqslant k < j$的$k$，都有字符串$[i - k + 1...i + k]$为反对称的。

        根据这个单调性，我们只需要枚举$i$，然后二分$j$即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>

#define MAX_N (500000 + 5)

using namespace std;

typedef unsigned long long ull;
typedef const unsigned long long cull;
int n;
char s[MAX_N];
cull b = 3;
ull h1[MAX_N], h2[MAX_N], pb[MAX_N];
int ans;

int main()
{
    scanf("%d%s", &n, s + 1);
    pb[0] = 1;
    for(register int i = 1, j = n; i <= n; ++i, --j) 
    {
        h1[i] = h1[i - 1] * b + (s[i] == '1') + 1;
        h2[j] = h2[j + 1] * b + (s[j] == '0') + 1;
        pb[i] = pb[i - 1] * b;
    }
    int lt, rt, mid;
    for(register int i = 1; i <= n; ++i) 
    {
        lt = 1;
        rt = min(i, n - i);
        while(lt <= rt) 
        {
            mid = lt + rt >> 1;
            if(h1[i + mid] - h1[i - mid] * pb[mid << 1] != h2[i - mid + 1] - h2[i + mid + 1] * pb[mid << 1]) rt = mid - 1;
            else lt = mid + 1;
        }
        ans += rt;
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

        当然，我们也可以直接用manacher做。

        其实反对称就类似回文，这里的反对称其实可以理解为对于每个字符串，左半边异或后等于右半边，我们把manacher稍微改一下即可。

        注意，这里不能随枚举奇数长度的子串，因为奇数长度本身就是不可能反对称的，这样子可能会影响偶数长度子串的判断。

#include <iostream>
#include <cstdio>

#define MAX_N (500000 + 5)

using namespace std;

int n;
char s[MAX_N];
int len;
char ns[MAX_N << 1];
int p[MAX_N << 1];
char to[130];
long long ans;

int main()
{
    scanf("%d%s", &n, s + 1);
    len = n << 1 | 1;
    ns[0] = '~';
    ns[len + 1] = '^';
    ns[1] = '#'; 
    for(register int i = 1; i <= n; ++i) 
    {
        ns[i << 1] = s[i];
        ns[i << 1 | 1] = '#';
    }
    to['0'] = '1';
    to['1'] = '0';
    to['#'] = '#';
    to['~'] = '~';
    to['^'] = '^';
    int rt = 0, mid = 0;
    for(register int i = 1; i <= len; i += 2) 
    { 
        if(i < rt) p[i] = min(rt - i + 1, p[(mid << 1) - i]);
        else p[i] = 1;
        while(ns[i + p[i]] == to[ns[i - p[i]]]) ++p[i];
        if(i + p[i] - 1 > rt) 
        {
            rt = i + p[i] - 1;
            mid = i;
        }
        ans += p[i] >> 1;
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}