幸运值

https://www.luogu.com.cn/problem/T120293

Description

一共有n张卡牌，每张卡牌上有一个数Ai，每次可以从中选出k张卡牌。一种选取方案的幸运数为这k张卡牌上数的异或和。马克想知道所有选取方案的幸运数之和除以998244353的余数。

Solution

由异或的性质，我们发现每一位的答案与选了哪些数无关，而与哪一位的0、1数量有关。

于是我们可以拆位，统计出这 N个数的每一位的0、1的个数。

• 对于每一位，我们设有 x 个 1 ，那么则有 n−x 个 0 。

• 要在其中选 k个数，又发现其异或和只与 1 的个数的奇偶性有关。

  这一位的$ ans=sum_{j=1,j≡1(mod 2)}^{x}C_x{j}*C_{n-x}^{k-j}$

  注意特判x>y的情况

  时间复杂度为$ N log A_i$

  #include <cstdio>
  #include <iostream>
  #include <cstring>
  #include <algorithm>
  #define N 100010
  #define mod 998244353
  #define ll long long
  using namespace std;
  int n,k,cn[32];
  ll jc[N],ny[N];
  ll pow(ll a,ll b){
  	ll ans=1;
  	while(b){
  		if(b&1) ans=ans*a%mod;
  		a=a*a%mod;
  		b>>=1;
  	}
  	return ans;
  }
  ll c(int m,int n){
  	if(m<n) return 0;
  	return jc[m]*ny[m-n]%mod*ny[n]%mod;
  }
  int main(){
  	scanf("%d %d",&n,&k);
  	jc[0]=ny[0]=1;
  	for(int i=1;i<=n;i++){
  		int x;
  		scanf("%d",&x);
  		for(int j=0;j<31;j++)
  			if(x&(1<<j)) cn[j]++;
  		jc[i]=jc[i-1]*i%mod,ny[i]=pow(jc[i],mod-2); 
  	}
  	ll ans=0;
  	for(int j=0;j<31;j++){
  		ll tmp=0;
  		for(int i=1;i<=k;i+=2)
  			tmp=(tmp+c(cn[j],i)*c(n-cn[j],k-i)%mod)%mod;
  		ans=(ans+(1<<j)%mod*tmp%mod)%mod;
  	}
  	printf("%lld",ans);
  	return 0;
  }