【ZOJ】3785 What day is that day? ——浅谈KMP在ACM竞赛中的暴力打表找规律中的应用

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首先声明一下，这里的规律指的是循环，即找到最小循环周期。

这么一说大家心里肯定有数了吧，“不就是next数组性质的应用嘛”，没错，正是如此。

在ACM的比赛中有些时候会遇到一些题目，可以或必须通过找出数据的规律来编写代码，这里我们专门来讨论下 如何运用KMP中next数组的性质 来寻找一个长数组中的最小循环周期。

先来看一道题

ZOJ 3785

What day is that day?

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It's Saturday today, what day is it after 1¹ + 2² + 3³ + ... + N^N days?

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T indicating the number of test cases. For each test case:

There is only one line containing one integer N (1 <= N <= 1000000000).

Output

For each test case, output one string indicating the day of week.

Sample Input

2
1
2

Sample Output

Sunday
Thursday

Hint

A week consists of Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday and Saturday.

 

题目的大意是知道今天是周六，让你求 f = 1¹ + 2² + 3³ + ... + N^N 这么多天之后是星期几。

也就是求f % 7对于每个输入的N的值。这题在网上一搜题解，都说是打表找规律，当然这题有两种找法，一是对于每个iⁱ  % 7 的值都找规律。

这里我们打表可知 前100个值如下所示

1 4 6 4 3 1 0 1 1 4 2 1 6 0 1 2 5 1 5 1 0 1 4 1 4 4 6 0 1 1 3 2 6 1 0 1 2 2 1 2 6 0 1 4 6 4 3 1 0 1 1 4 2 1 6 0 1 2 5 1 5 1 0 1 4 1 4 4 6 0 1 1 3 2 6 1 0 1 2 2 1 2 6 0 1 4 6 4 3 1 0 1 1 4 2 1 6 0 1 2

有一种找规律的方法是当有数字等于第一个数的时候做个标记，再人工判断是否能够构成一个循环。

不可否认的，对于周期较短的一组数字这样找周期并不难，可是如果周期大到数百数千甚至数万时，靠这种方法找周期恐怕是杯水车薪。

当时我就迷茫在了这一长串的数字中不知所措，猛然想起前不久看过的KMP中next数组的性质，当即想到了用KMP求最小重复子串长度的方法，于是脑洞大开……

该性质为：令j=leni-next[i],如果i%j==0且i/j>1，j就是Pi的最小循环节( Pi表示文本串的前i个字符，leni表示该字符串的长度，一般表示为leni = i + 1)

关键代码如下：

/*注：int next[]为next数组，int arr[]为要找规律的数组，len为数组长度*/
next[0] = 0;
for(int i = 1, q = 0; i < len; i++){
    while(q > 0 && arr[i] != arr[q])
        q = next[q-1];
    if (arr[i] == arr[q])
        q++;
    next[i] = q;
    if (q != 0 && (i + 1) % (i + 1 - q) == 0){
        printf("%d
", i+1-q);
        break;
    }
}

可以求出最小周期为42。

 

还有一种找规律的方法是直接对 f % 7 的值进行打表找规律，按照上述方法找到的周期为294，下面要做的就很简单了~

AC代码如下：

#include <cstdio>

const char day[10][10] = {"Saturday", "Sunday", "Monday", "Tuesday", "Wednesday", "Thursday", "Friday"};
int s[300];

int work(int n)
{
    int sum = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        sum = sum * n;
        sum %= 7;
    }
    return sum;
}

void init()
{
    s[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= 294; i++){
        s[i] = s[i-1] + work(i);
        s[i] %= 7;
    }
}

int main()
{
    int T;
    int n;
    init();
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d", &n);
        n %= 294;
        printf("%s
", day[ s[n]]);
    }
    return 0;
}

 

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自从上次大开脑洞之后，今天又遇到了一道题，POJ 3070。

题目的大意是让你求第n个斐波那契数的后四位是多少，题目的本意考察的是矩阵快速幂，可是暴力打表又有何不可呢？遂打表用KMP查询，找到周期为15000，顺利水过了这题~

 

嗯，这篇文章只是跟大家分享一下自己偶然发现的KMP在竞赛中一种用法，在有些题目中使用不免有投机取巧之嫌（就像POJ 3070 ╮(╯▽╰)╭），不过不管投机不投机，只要能AC，就是好方法。O(∩_∩)O哈哈~ 开个玩笑，若有不足之处，还请各位指正。