Leetcode 279.完全平方数

完全平方数

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12

输出: 3

解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13

输出: 2

解释: 13 = 4 + 9.

【思路】

1. 递归

　　对于一个数，我们怎么求它的由哪些完全平方数相加得到的呢？

　　首先找到距离这个数最近的完全平方数m = x*x，我们从1~x中选择一个数，求出n中包含z个x*x，我们在递归求出n-z*x*x所包含的完全平方数。遍历1~x，返回其中最小的结果。

2. 动态规划

　　动态规划用 dp[i] 数组存储第 i 个数的完美平方数。递推式为：dp[i] = Math.min(dp[j] + dp[i-j], dp[i])，认为 i 的完全平方数是从和为 i 的两个完全平方数 dp[j] 和 dp[i-j]之和，然后从中取最小。

 3. 改进后的动态规划

　　

　　如图所示，红色部分表示平方数，所有的数都可以看做一个普通数加上一个完美平方数，那么递推式就变为了：dp[i + j * j] = Math.min(dp[i] + 1, dp[i + j * j])。

【java递归实现】

public class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int count = n;
        int nearest = (int)Math.sqrt(n);
        if(n == 0) return 0;
        if(nearest*nearest == n) return 1;
        for(int i = nearest; i >= 1; i--) {
            int cur = 0, num  = n, t = i*i;
            while(num - t >= 0) {
                num -= t;
                cur++;
            }
            if(cur < count){
                count = Math.min(numSquares(num)+cur, count);
            }
        }

        return count;
    }
}

【java实现动态规划】

public class Solution {
    /*
    动态规划的思想来解决，递推公式dp[i] = Math.min(dp[j] + dp[i-j], dp[i])
    */
    public int numSquares(int n) {
        int[] array = new int[n+1];
        Arrays.fill(array, Integer.MAX_VALUE);
        array[1] = 1;

        for(int i = 2; i <=n; i++) {
            int sqr = (int)Math.sqrt(i);
            if(sqr*sqr == i) array[i] = 1;
            else{
                for(int j = 1; j <= i/2; j++) {
                    array[i] = Math.min(array[j]+array[i-j], array[i]);
                }
            }
        }
        return array[n];
    }
}

 【java实现改进后的动态规划】

public class Solution {
    /*
    改进后动态规划，递推公式dp[i+j*j] = Math.min(dp[i]+1, dp[i+j*j])
    */
    public int numSquares(int n) {
        int[] array = new int[n+1];
        Arrays.fill(array, Integer.MAX_VALUE);

        for(int i = 1; i*i <= n; i++) {
            array[i*i] = 1;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; i+j*j <= n; j++) {
                array[i+j*j] = Math.min(array[i]+1, array[i+j*j]);
            }
        }
        return array[n];
    }
}