Leetcode 486.预测赢家

预测赢家

给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家1从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家2继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家1拿，……。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。

给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例 1:

输入: [1, 5, 2]

输出: False

解释: 一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。

如果他选择2（或者1），那么玩家2可以从1（或者2）和5中进行选择。如果玩家2选择了5，那么玩家1则只剩下1（或者2）可选。

所以，玩家1的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家2为 5。

因此，玩家1永远不会成为赢家，返回 False。

示例 2:

输入: [1, 5, 233, 7]

输出: True

解释: 玩家1一开始选择1。然后玩家2必须从5和7中进行选择。无论玩家2选择了哪个，玩家1都可以选择233。

最终，玩家1（234分）比玩家2（12分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家1可以成为赢家。

注意:

1. 1 <= 给定的数组长度 <= 20.
2. 数组里所有分数都为非负数且不会大于10000000。
3. 如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家1仍为赢家。

该题，在解法上可以使用递归与动归两种思路解决，而这里选择的使用动归来实现。

首先要注意到题目中，假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化，并且玩家 1 为先手。

双方拿到到分数的总和是一定的，这里的动态规划算法考虑的是两者的差值。也就是说，玩家 1 拿到的分数总和减去玩家 2 拿到的分数总和，如果最后大于0就获胜。

上面即为 AC 过的算法，其中对于辅助数组 dp[left][right]，有转移方程：

这就表示玩家 1 和玩家 2 在区间 [left,right] 中，玩家 1 总得分与玩家 2 总得分的差值。其中 dp[left][right] 的值又是动态依赖于 dp[left + 1][right] 与 dp[left][right - 1] ，具体的关系如上，如果此时玩家 1 选择最左边的分数，则玩家 2 就只能从最左边 + 1 到最右边的区间去动态选择来，此时玩家 2 也会根据剩余的区间选择最优的答案；当玩家 1 选择最右边的分数时，亦是如此。

当 玩家 1 选择最左边的分数 时，有 nums[left] - dp[left + 1][right]，这里表示玩家 1 选择了最左边的分数 nums[left]，然后减去玩家 2 在剩余区间 [left - 1][right] 中获得的最优选择时与玩家 1 总得分的差值 dp[left + 1][right]，此时就是玩家 1 与玩家 2 在区间 [left,right] 两者相差分别总得分的差值了。其中，被减去的 dp[left + 1][right] （或者 dp[left][right - 1] ）是动态的代表 玩家 1 与 玩家 2 二者互斥其一的 与对方玩家的差值。

对于上面那一段，肯能会有疑惑，下面以一个具体的例子讲解：

对于数组 {1,2,3}，有：

1 - (3 - 2) 进一步变为 1 - 3 + 2 其中中的正符号对应的数 1 和 2 即为玩家 1 的选择，负符号对应的数 3 即为玩家 2 的选择，1 - 3 + 2的结果即为玩家 1 总得分减去玩家 2 总得分的差值，且需要注意在 max(1 - dp[2][2], 2 - dp[1][1]) 式中，dp[2][2] 代表在整体数组{1,2,3} 的部分区间 {2} 中玩家 2 总分减去玩家 1 总分的差值，因为在整体数组 {1,2,3} 中的部分区间{1,2} 中玩家 1 选择了 1 之后，玩家 2 就只剩 2 可以选择了，此时 dp[2][2] 是针对于玩家 2 来说的。

但是对于如果数组整体只有 {1,2} 时，此时 dp[2][2] 是针对玩家 1 的。

class Solution {

    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
        int[][] dp = new int[nums.length][nums.length];
        dp[dp.length - 1][dp.length - 1] = nums[nums.length - 1];
        for (int left = dp.length - 2; left >= 0; left--) {
            for (int right = left; right < dp.length; right++) {
                if (left == right) {
                    dp[left][right] = nums[left];
                } else { 
                    int pickLeft = nums[left] - dp[left + 1][right];
                    int pickRight = nums[right] - dp[left][right - 1];
                    dp[left][right] = Math.max(pickLeft, pickRight);
                }
            }
        }
        return dp[0][nums.length - 1] >= 0;
    }

}