萌新瞎讲网络流之最大流【不定期更新理解篇】

【不定期更新篇（未成形篇）】

一直在搞，就像吃很恶习的东西，好想吐；

但还是可以理解成良药苦口啊~；

基础知识定义：

网络是一种特殊的有向图。

有向加权图G，指定两个定点S和T，分别称为源和汇。边上的权值称为容量；

网络中的一个可行流并不是改路线中所有边的容量的简单相加，这段路线的总承重量受路线中最小容量边的制约。

寻找方案使得总运输量最大，这就是网络流算法需要解决的问题；

通俗的讲：（我将说路就是管道，路的权值就是管道的容量）

在一个网络中，往源点灌水，然后从源点水开始流向汇点，

【只考虑在单位时间下】

1.如果从大的流分流，分开的流的总和是小于这个流的，那么支流的流量就是本身的容量，见下图（1）；

2.如果从小的流往大的容量的管道，那么对于大的管道来说，水流过来才这么点，所以大的管道也才只有之前的那么多水而已啊，见图（2）；

一个网络中的最大流就是指该网络中流值最大的流，只是指了某条特定的流，而我们是要通过方法来计算这个最大流的流值是多大。

 

感觉先搞一下网络流算法EK算法的流程好像还是不懂，真的好无力啊。

可以先打一遍！！！（推荐）；

大致流程就是BFS一下，找到一条增广路，搞出一个最小的流值，从源到汇上的路的权值减去这个流值，并且在汇到源上权值加上这个流值；

FF方法的具体步骤（摘自图论书）：

（1）：初始化网络中所有边的容量，c<u,v>继承该边的容量，c<v,u>初始化为0，其中边<v,u>即为回退边。初始化最大流为0；

（2）：在残留网络中找出一条从源S到汇T的增广路p。如果能找到，则转步骤（3）；

如不能找到，则转步骤（5）.

（3）：在增广路p中找出所谓的“瓶颈”边，即路径中容量最小的边，记录下这个值X，并且累加到最大流中，转步骤（4）。

（4）：将增广路中所有c< u , v >减去X，所有c<v,u>加上X，构成新的残留网络。转步骤（2）.

（5）：得到网络的最大流，退出。

 

const intN=110;      //最大点个数
intma[N][N],n,p[N];  //ma:邻接数组；n：点数；p：前驱数组
bool EK_bfs()
{
    queue<int>q;//队列
bool flag[N];//标记数组
//初始化
    memset(flag,false,sizeof(flag));
    memset(p,-1,sizeof(p));
 
    while(!q.empty())
        q.pop();
    flag[1]=true;
    q.push(1);
 
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        if(u==m)        //当队列弹出的点为终点时即可判增广路已经找到；
            return true;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            if(ma[u][i]&&!flag[i])//当边容量非0，且增广点未标记
            {
                flag[i]=true;
                p[i]=u;        //记录前驱
                q.push(i);
            }
        }
    }
    return false;
}
 
int EK()
{
    int u,ans=0,mm;
    while(EK_bfs())//当增广成功的时候
    {
        mm=INF;
        u=m;
        while(p[u]!=-1)
        {
            mm=min(mm,ma[p[u]][u]);
            u=p[u];     //寻找到“瓶颈”边，并且记录容量（也可以在BFS过程中求出）
        }
        ans+=mm;  //累加进最大流
        u=m;
        while(p[u]!=-1) //修改路径上边的容量；
        {
            ma[p[u]][u]-=mm;
            ma[u][p[u]]+=mm;
            u=p[u];          
        }
    }
    return ans;
}

感觉打完了一发。。。还是好难理解是不是，模拟一发吧。。。

原题链接（http://poj.org/problem?id=1273）

给你4个点，5条边；

5 4

1 2 40//代表1到2有40的容量

1 4 20

2 4 20

2 3 30

3 4 10

然后模拟（我就记录个flow的结果，细节上的自行模拟了…）

一开始进去：

初始化，

从源 1 开始，

1->2,flow[2]=40;  2入队；

1->4,flow[4]=20;  4入队；

2->3,flow[3]=min(flow[2],ma[2][3])=20;

2->4,不需要，4已经处理过了

4出队=汇点，返回；

然后回溯一下：找到一个最小的流，然后更新，将找到的增广路把这个残留网络额外的流减去，反向边加上这个值

……

一直循环到找不到增广路为止；

可惜。。。真心好难理解啊。。打完还是似懂非懂，其实最重要的两步就是BFS找增广路，然后构造一下残留网路，一直循环，然后直到找不到增广路，当前的流值，就是最大流；

然后理解Dinic算法，推荐：Comzyh的博客

基本流程：

1.根据残留网络计算层次图；

2.在层次图中使用DFS进行增广直到不存在增广路

3.重复以上步骤直到无法增广

 

--------补充说明一个找增广的问题；

给出这样一副图：

先找到的增广有:

路      流量     转化成    路   流量    路   流量

1->2     2                    1<-2    2      1->2   0

2->4     2                    4<-2    2      2->4   0

4->6     2                    6<-4    2      4->6   0

ok，这样就是找到一个完全的增广；ans+=2;

继续；

1->3     1                    3<-1    1     1->3   0

3->4     1                    4<-3    1     3->4   0

4->2     2                    2->4    1     4->2   1

2->5     1                    5->2    1     2->5   0

5->6     1                    6->5    1     5->6   0

ok，又是一个增广 ；ans+=1;

终点阐述反向弧的作用：

反向弧可以理解我给这条路分配了x的流量，我建立一个反向弧，等下给自己一个后悔的机会。

比如上面那个第一次找增广过程中4->2建立反向弧，在第二次找增广的时候利用了这个反向弧；

我们可以理解之前我先安排2单位水通过这条路，不要理解成是这条路给的流量，流量都是从源点出发的，很自然这条路上的流量是上面那条路的流量流过来。

对于第一次，留多少呢，我先流个2吧，然后给自己一个机会（建立一个反向弧），等会可能我往这个方向不流2，比如第二次找到了，我可以去别的方向流1，那多个机会流还不好啊，形象上的理解就是上面那个点出来的分流了；

那么还有一个问题，怎么理解反向弧前面的那些路呢？

 是不是可以理解这条路(3->4)的流能到达路(2->4)到达4这个点，然而4以后已经阻断了，或者说已经塞了一部分流量了，

然后呢可以利用路(2->4)的反向弧(4->2)，索取一部分他的，后悔以后就是说前面那个点(2)在这里分流了，注意每次找的增广都是一个能实现的图上的一个"瓶颈"，

然后点(2)分流，实际上是给路(2->5)1单位，给路(2->4)1单位，然后路(3->4)往点4运了1单位，4->6流向6就是2单位；

贴一发DINIC的模板；

邻接矩阵版本：

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1e3+10;

int ma[N][N];
int dis[N];
int q[N*100],h,r;
int n,m,ans;

bool BFS()
{
    int i,j;
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    dis[1]=0;
    h=0,r=1;
    q[1]=1;
    while(h<r)
    {
        j=q[++h];
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(dis[i]<0&&ma[j][i]>0)
            {
                dis[i]=dis[j]+1;
                q[++r]=i;
            }
        }
    }
    if(dis[n]>0)
        return true;
    return false;
}

int DFS(int x,int low)
{
    int i,a=0;
    if(x==n)
        return low;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(ma[x][i]>0&&dis[i]==dis[x]+1&&(a=DFS(i,min(low,ma[x][i]))))
        {
            ma[x][i]-=a;
            ma[i][x]+=a;
            return a;
        }
    }
    return 0;
}

void DINIC()
{
    int tans;
    ans=0;
    while(BFS())
    {
        while(tans=DFS(1,INF))
            ans+=tans;
    }
    printf("%d
",ans);
}

前向星版本：HDU（3549）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int64 LL;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=2050;

int level[N];
int q[N],h;
int n,m,ans;

struct asd{
    int to;
    int w;
    int next;
};
asd edge[2500000];
int head[2500000],tol;

bool BFS(int s,int t)
{
   int i,k;
   int top;
   memset(level,0,sizeof(level));
   level[s]=1;
   h=0;
   q[h++]=s;
    for(int i=0;i<h;i++)
    {
        top=q[i];
        if(top==t)
            return true;
        for(k=head[top];k!=-1;k=edge[k].next)
        {
            if(!level[edge[k].to]&&edge[k].w>0)
            {
                q[h++]=edge[k].to;
                level[edge[k].to]=level[top]+1;
            }
        }
    }
    return false;
}

int DFS(int now,int maxw,int t)
{
    int w,k,ret=0;
    if(now==t)
        return maxw;
    for(k=head[now];k!=-1;k=edge[k].next)
    {
        if(edge[k].w>0&&level[edge[k].to]==level[now]+1)
        {
            w=DFS(edge[k].to,min(maxw-ret,edge[k].w),t);
            edge[k].w-=w;
            edge[k^1].w+=w;
            ret+=w;
            if(ret==maxw)
                return ret;
        }
    }
    return ret;
}

void DINIC()
{
    ans=0;
    while(BFS(1,n))
        ans+=DFS(1,INF,n);
    printf("%d
",ans);
}

void add(int a,int b,int c)
{
    edge[tol].w=c;
    edge[tol].to=b;
    edge[tol].next=head[a];
    head[a]=tol++;
}

int main()
{
    int T,cas=1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int u,v,x;
        tol=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&x);
            add(u,v,x);
            add(v,u,0);
        }
        printf("Case %d: ",cas++);
        DINIC();
    }
    return 0;
}

后悔的就是原来分流，新流往原来的路走。。。

好好理解吧。。。。

也求一个好理解的idea！