Ⅰ.杜教筛有什么用
杜教筛可以快速（在低于线性的时间内）求出积性函数的前缀和，比如莫比乌斯函数(mu(i))的前缀和、欧拉函数(phi(i))的前缀和
Ⅱ.如何计算
假设我们需要计算积性函数(g(i))的前缀和(S(i))
可以构造出一个卷积和：
[sum_{i=1}^{n}(f*g)(i) = sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}f(i)g(frac{i}{d})
]
变换一下求和顺序，先枚举因子得到：
[sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}f(i)g(frac{i}{d}) = sum_{d=1}^{n}f(d)sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}g(i)=sum_{d=1}^{n}f(d)S(lfloor frac{n}{d}
floor)
]
所以：
[sum_{i=1}^{n}(f*g)(i) = sum_{d=1}^{n}f(d)S(lfloor frac{n}{d}
floor)
]
[Downarrow
]
[f(1)S(n)=sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-sum_{d=2}^{n}f(d)S(lfloor frac{n}{d}
floor)
]
只要能够快速计算出卷积和(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i))，那么就能够通过数论分块来快速计算(sum_{d=2}^{n}f(d)S(lfloor frac{n}{d} floor))从而快速计算出(f(1)S(n))
一些性质：
[mu * 1 = epsilon
]
[phi * 1 = ID
]
其中(epsilon(n) = [n==1])，(ID(n)=n)，(1(n)=1)
洛谷P4213 模板
//#pragma GCC optimize("O3")
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
function<void(void)> ____ = [](){ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);};
typedef long long int LL;
const int MAXN = 1e6+7;
LL phi[MAXN],mu[MAXN];
vector<int> prime;
map<int,LL> MU,PHI;
void preprocess(){
mu[1] = 1; phi[1] = 1;
for(int i = 2; i < MAXN; i++){
if(!phi[i]){
phi[i] = i - 1;
mu[i] = -1;
prime.emplace_back(i);
}
for(int j = 0; j < (int)prime.size(); j++){
if(i*prime[j]>=MAXN) break;
mu[i*prime[j]] = -mu[i];
phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
if(i%prime[j]==0){
mu[i*prime[j]] = 0;
phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
}
}
for(int i = 1; i < MAXN; i++){
phi[i] += phi[i-1];
mu[i] += mu[i-1];
}
}
LL calphi(int x){
if(x<MAXN) return phi[x];
if(PHI.count(x)) return PHI[x];
LL tot = (1ll+x)*x/2;
for(int i = 2; i <= x; i++){
int j = x / (x / i);
tot -= (j-i+1ll) * calphi(x/i);
i = j;
}
PHI[x] = tot;
return PHI[x];
}
LL calmu(int x){
if(x<MAXN) return mu[x];
if(MU.count(x)) return MU[x];
LL tot = 1;
for(int i = 2; i <= x; i++){
int j = x/(x/i);
tot -= (j-i+1ll) * calmu(x/i);
i = j;
}
MU[x] = tot;
return MU[x];
}
void solve(){
int x; cin >> x;
cout << calphi(x) << ' ' << calmu(x) << endl;
}
int main(){
int T; cin >> T;
preprocess();
while(T--) solve();
return 0;
}