母函数模板解释

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母函数模板解释

母函数模板 
1；母函数应用于——————形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题.。现在我们先讨论普通生成函数；

2；定义； 
(1+x)^n = 1 + C(n,1)x +C(n,2)x^2 + C(n,3)x^3+~~~~~~~~~+C(n,n)^n; 
==> G(x)=a0 + a1x + a2x^2 + ~~~~~ + anx^n;

函数G(X)就称序列a0，a1，a2，a3~~~~~an的母函数； 
看一个经典的例子；

例一； 
有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？ 
考虑用母函数来解决这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样： 
1个1克的砝码可以用函数1+x表示， 
1个2克的砝码可以用函数1+x∧2表示， 
1个3克的砝码可以用函数1+x∧3表示， 
1个4克的砝码可以用函数1+x∧4表示

解释；以1+x∧2为例； 
2克的砝码有两种状态，取or不取； 1*x^0+1*x^2;就是1+1*x^2; 
看联系；G（x） = (1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)*(1+x^4);每个括号内都表示每种砝码的情况。 
=1+x+x^2+2*x^3+2*x^4+2*x^5+2*x^6+2*x^7+x^8+x^9+x^10;

从最后面的式子可以知道；可以称出1g到10g，前面的系数就是方案数。指数表示可以称出的重量。 
列如5g就找到x系数为5的式子；2*x^5系数为2则有2种方案可以称出5g；

例二； 
用1分，2分，3分的邮票可以贴出数值的方案数。 
该例子对比例一的区别，这里是无限的每种邮票都可以；1~无限。 
=======G(x)=(1+x+x^2+x^3+……)（1+x^2+x^4+x^6……）(1+x^3+x^6+x^9……)+( ……); 
然后就是同样的， 
拆开后；前面的系数就是方案数。指数表示可以称出的重量。

对于这种母函数的应用应该懂了吧。 
个人理解；就是一句话，把每种列子的每种情况列出相乘就是要求的母函数了，母函数拆开之后就是结果了，幂表示情况，前面的系数表示该种情况下的方案种类；

现在我们考虑的是怎么用代码实现例二的情况呢。就是说我要怎么用用代码实现，输入一个数可以输出这种重量的方案数。 
一位大牛说，我们怎么笔算的就用这种思维去实现，然而……还是不会。

先说一下核心思路吧。 
**1；要开两个数组，c1，c2； 
C1；保存当前得到的多项式各式系数； 
C2；保存每次计算是的临时结果； 
并且在之后每计算一次完毕之后就要把c2赋值给c1，并且将c2初始化为0； 
2；三重循环 
第一重；记录它正在与第几个多项式相乘。 
第二重；表示c1中每一项； 
第三重；被后面相乘的每一项**。

在根据这些去落实代码吧；

while(scanf("%d",&n) != EOF){
        for(i = 0; i <= n; i++){//初始化；要注意并不是每次都是这样初始化的。
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(i = 2; i <= n; i++){
            for(j = 0; j <= n; j++){
                for(k = 0; k+j <= n; k += i){ //这里的k+=i表示的是表达式i中幂的变化规律。刚好是加i；注意适当变化。
                    c2[k+j] += c1[j];
                }
            }
            for(j = 0; j <= n; j++){
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        printf("%d
",c1[n]);
    }
；

分析代码； 
1；

 for(i = 0; i <= n; i++){

//初始化；要注意并不是每次都是这样初始化的。

c1[i] = 1; c2[i] = 0; } 

初始化；这样初始化的条件是每项都有从1到n克都存在的情况下，不能存在中间有一项没有这种情况。 
列如例子2082就是不能这样的，他中间存在没有的情况。

2；三重循环；

for(i = 2; i <= n; i++){//表示第i个表达式；
            for(j = 0; j <= n; j++){//表示、c1中的每一项。结果是幂；
                for(k = 0; k+j <= n; k += i){ //表示与第i个表达式中的幂为k的项相乘；
                    c2[k+j] += c1[j];//这里是累加。

看另外一种模板；代码出自于杭电2082；

memset(c1, 0, sizeof(c1));
memset(c2, 0, sizeof(c2));
c1[0]=1;//有些是0，则不能套用模板中的都等于1；
        //c1[0]=1；相当于入口、 
        for(i = 1; i <= 26; i++){ 
            for(j = 0; j <= 50; j++){//c1的各项的指数
                for(k = 0; k <= x[i] && j+k*i <= 50; k++){ 
                    c2[j+k*i] += c1[j];
                }//这里的k表示表达式中的第k项，并且该项的幂是k*i；  
            }
            for(j = 0; j <= 50; j++){
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }

对比一下上个代码； 
区别； 
1；初始化那里不同，这里只是c1[0]=1;而不是全部初始化为1；因此这样的初始化适用范围更广，可以是连续的情况。 
2；第三重循环那里不同，不再是k+=I;而是k++了。然而这里的区别很大，。 
这里的k表示的是第i个表达式中的第k项，并且该项的幂是k*i**； 
前面那个代码k表示的是与第i个表达式中的幂为k的项相乘。 
一个表示k项一个表示幂为k，这里注意区分。