HDU_2604 矩阵快速幂 较难推的公式

一个排队问题，f代表女，m代表男，f和m出现的几率相等。问一个长为L的队伍不能出现 fmf 和 fff这样的串总共有多少种。

这个题目的公式递推略难啊。。。我看了别人博客才想明白原来是这么递推出来的。

首先把前几项写出来。

L=0 ，ans=0；

L=1，ans=2；

L=2，ans=4；

L=3，ans=6；

L=4，ans=9；

规律有点难找，直接递推出来，假设 长度为n的串，n>4，ans[n] 无非就是在 ans[n-1]的基础上加一个 f或者m，如果在ans[n-1]的基础上在队列最后加一个m，则绝对合法，因为不论前面n-1个是怎么排列，最后加一个m，绝对不会构成fmf或者fff，所以 ans[n]+=f[n-1]; 但是如果最后一位加的是f，

就要分类讨论了:

这个时候，如果n-1位为m，则 n-2位一定要是m 也就是说 一定要 ans[n-3]+mmf才满足条件，于是ans[n]+=ans[n-3]

这个时候，如果n-1位为f，则n-2位必定为m（否则就后三位fff了）,不仅如此，第n-3位一定要是m（否则就fmf了），所以就要 ans[n-4]+mmff,所以ans+=ans[n-4];

所以最后的递推出来的公式就是 ans[n]=ans[n-1]+ans[n-3]+ans[n-4];

得此公式，构造出矩阵。。。凡是学过矩阵快速幂的应该都会写了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int l,m;
int date[6];
struct Mat{
    int mat[5][5];
};
Mat s,E;
Mat operator *(Mat a,Mat b)
{
    Mat c;
    memset(c.mat,0,sizeof (Mat));
    int i,j,k;
    for (i=0;i<4;i++)
        for (j=0;j<4;j++)
        for (k=0;k<4;k++)
    {
        if(a.mat[i][k] && b.mat[k][j])
            c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
        c.mat[i][j]%=m;
    }
    return c;
}
Mat operator ^(Mat a,int x)
{
    Mat c=E;
    for (;x;x>>=1)
    {
        if (x&1)
            c=c*a;
        a=a*a;
    }
    return c;
}
void init()
{
    date[0]=0;
    date[1]=2;
    date[2]=4;
    date[3]=6;
    date[4]=9;
    memset(s.mat,0,sizeof (Mat));
    memset(E.mat,0,sizeof (Mat));
    s.mat[0][0]=s.mat[0][2]=s.mat[0][3]=1;
    s.mat[1][0]=1;
    s.mat[2][1]=1;
    s.mat[3][2]=1;

    for (int i=0;i<4;i++)
        E.mat[i][i]=1;
}
int main()
{
    init();
    while (scanf("%d%d",&l,&m)!=EOF)
    {
        if (l<=4)
        {
            printf("%d
",date[l]%m);
            continue;
        }
        Mat ans;
        ans=s^(l-4);
        int sum=0;
        for (int i=0;i<4;i++)
        {
            sum+=ans.mat[0][i]*date[4-i];
        }
        sum%=m;
        printf("%d
",sum);
    }
    return 0;
}