在此之前，我们已经学习了前馈网络的两种结构——多层感知器和卷积神经网络，这两种结构有一个特点，就是假设输入是一个独立的没有上下文联系的单位，比如输入是一张图片，网络识别是狗还是猫。但是对于一些有明显的上下文特征的序列化输入，比如预测视频中下一帧的播放内容，那么很明显这样的输出必须依赖以前的输入， 也就是说网络必须拥有一定的”记忆能力”。为了赋予网络这样的记忆力，一种特殊结构的神经网络——递归神经网络(Recurrent Neural Network)便应运而生了。网上对于RNN的介绍多不胜数，这篇《Recurrent Neural Networks Tutorial》对于RNN的介绍非常直观，里面手把手地带领读者利用python实现一个RNN语言模型，强烈推荐。为了不重复作者 Denny Britz的劳动，本篇将简要介绍RNN，并强调RNN训练的过程与多层感知器的训练差异不大(至少比CNN简单)，希望能给读者一定的信心——只要你理解了多层感知器，理解RNN便不是事儿:-)。
RNN的基本结构
首先有请读者看看我们的递归神经网络的容貌：
乍一看，好复杂的大家伙，没事，老样子，看我如何慢慢将其拆解，正所谓见招拆招，我们来各个击破。
上图左侧是递归神经网络的原始结构，如果先抛弃中间那个令人生畏的闭环，那其实就是简单”输入层=>隐藏层=>输出层”的三层结构，我们在多层感知器的介绍中已经非常熟悉，然而多了一个非常陌生的闭环，也就是说输入到隐藏层之后，隐藏层还会给自己也来一发，环环相扣，晕乱复杂。
我们知道，一旦有了环，就会陷入“先有蛋还是先有鸡”的逻辑困境，为了跳出困境我们必须人为定义一个起始点，按照一定的时间序列规定好计算顺序，做到有条不紊，于是实际上我们会将这样带环的结构展开成一个序列网络，也就是上图右侧被“unfold”之后的结构。先别急着能理解RNN，我们来点轻松的，先介绍这样的序列化网络结构包含的参数记号：
网络某一时刻的输入xtxt，和之前介绍的多层感知器的输入一样，xtxt是一个nn维向量，不同的是递归网络的输入将是一整个序列，也就是x=[x1,...,xt−1,xt,xt+1,...xT]x=[x1,...,xt−1,xt,xt+1,...xT]，对于语言模型，每一个xtxt将代表一个词向量，一整个序列就代表一句话。
htht代表时刻tt的隐藏状态
otot代表时刻tt的输出
输入层到隐藏层直接的权重由UU表示，它将我们的原始输入进行抽象作为隐藏层的输入
隐藏层到隐藏层的权重WW，它是网络的记忆控制者，负责调度记忆。
隐藏层到输出层的权重VV，从隐藏层学习到的表示将通过它再一次抽象，并作为最终输出。
RNN的Forward阶段
上一小节我们简单了解了网络的结构，并介绍了其中一些记号，是时候介绍它具体的运作过程了。首先在t=0t=0的时刻，U,V,WU,V,W都被随机初始化好，h0h0通常初始化为0，然后进行如下计算：
s1=Ux1+Wh0h1=f(s1)o1=g(Vh1)
s1=Ux1+Wh0h1=f(s1)o1=g(Vh1)
这样时间就向前推进，此时的状态h1h1作为时刻0的记忆状态将参与下一次的预测活动，也就是
s2=Ux2+Wh1h2=f(s2)o2=g(Vh2)
s2=Ux2+Wh1h2=f(s2)o2=g(Vh2)
，以此类推
st=Uxt+Wht−1ht=f(Uxt+Wht−1)ot=g(Vht)
st=Uxt+Wht−1ht=f(Uxt+Wht−1)ot=g(Vht)
其中ff可以是tanh,relu,logistictanh,relu,logistic任君选择，gg通常是softmaxsoftmax也可以是其他，也是随君所欲。
值得注意的是，我们说递归神经网络拥有记忆能力，而这种能力就是通过WW将以往的输入状态进行总结，而作为下次输入的辅助。可以这样理解隐藏状态：
h=f(现有的输入+过去记忆总结)
h=f(现有的输入+过去记忆总结)
RNN的Backward阶段
上一小节我们说到了RNN如何做序列化预测，也就是如何一步步预测出o1,o2,....ot−1,ot,ot+1.....o1,o2,....ot−1,ot,ot+1.....，接下来我们来了解网络的知识U,V,WU,V,W是如何炼成的。
其实没有多大新意，我们还是利用在之前讲解多层感知器和卷积神经网络用到的backpropagation方法。也就是将输出层的误差CostCost，求解各个权重的梯度∇U,∇V,∇W∇U,∇V,∇W，然后利用梯度下降法更新各个权重。现在问题就是如何求解各个权重的梯度，其它的所有东西都在之前介绍中谈到了，所有的trick都可以复用。
由于是序列化预测，那么对于每一时刻tt，网络的输出otot都会产生一定误差etet，误差的选择任君喜欢，可以是cross entropy也可以是平方误差等等。那么总的误差为E=∑tetE=∑tet，我们的目标就是要求取
∇U=∂E∂U=∑t∂et∂U∇V=∂E∂V=∑t∂et∂V∇W=∂E∂W=∑t∂et∂W
∇U=∂E∂U=∑t∂et∂U∇V=∂E∂V=∑t∂et∂V∇W=∂E∂W=∑t∂et∂W
我们知道输出ot=g(Vst)ot=g(Vst),对于任意的CostCost函数，求取∇V∇V将是简单的，我们可以直接求取每个时刻的∂et∂V∂et∂V，由于它不存在和之前的状态依赖，可以直接求导取得，然后简单地求和即可。我们重点关注∇W,∇U∇W,∇U的计算。
回忆之前我们介绍多层感知器的backprop算法，我们知道算法的trick是定义一个δ=∂e∂sδ=∂e∂s，首先计算出输出层的δLδL，再向后传播到各层δL−1,δL−2,....δL−1,δL−2,....，那么如何计算δδ呢？先看下图：
之前我们推导过，只要关注当前层次发射出去的链接即可，也就是
δht=(VTδot+WTδht+1).∗f′(st)
δth=(VTδto+WTδt+1h).∗f′(st)
只要计算出所有的δot,δhtδto,δth，就可以通过以下计算出∇W,∇U∇W,∇U：
∇W=∑t⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢δh0,th0,t−1,...,δh0,thi,t−1,...,δh0,thm,t−1...δhj,th0,t−1,...,δhj,thi,t−1,...,δhj,thm,t−1...δhn,th0,t−1,...,δhn,thi,t−1,...,δhn,thm,t−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=∑tδht×ht−1∇U=∑t⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢δh0,tx0,t,...,δh0,txi,t,...,δh0,txm,t...δhj,tx0,t,...,δhj,txi,t,...,δhj,txm,t...δhn,tx0,t,...,δhn,txi,t,...,δhn,txm,t⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=∑tδht×xt
∇W=∑t[δ0,thh0,t−1,...,δ0,thhi,t−1,...,δ0,thhm,t−1...δj,thh0,t−1,...,δj,thhi,t−1,...,δj,thhm,t−1...δn,thh0,t−1,...,δn,thhi,t−1,...,δn,thhm,t−1]=∑tδth×ht−1∇U=∑t[δ0,thx0,t,...,δ0,thxi,t,...,δ0,thxm,t...δj,thx0,t,...,δj,thxi,t,...,δj,thxm,t...δn,thx0,t,...,δn,thxi,t,...,δn,thxm,t]=∑tδth×xt
其中××表示两个向量的外积。这样看来，只要你熟悉MLP的backprop算法，RNN写起程序来和MLP根本没有多大差异！手写naive的demo至少比CNN容易很多。
RNN的训练困难
虽然上一节中，我们强调了RNN的训练程序和MLP没太大差异，虽然写程序容易，但是训练起来却是千难万阻。为什么呢？因为我们的网络是根据输入而展开的，输入越长，展开的网络越深，那么对于“深度”网络训练有什么困难呢？最常见的是“gradient explode”和“gradient vanish”。这种问题在RNN中如何体现呢？为了强调这个问题，我们模仿Yoshua Bengio的论文《On the difficulty of training recurrent neural networks》的推导，重写一下RNN的梯度求解过程，为了推导方便，我们人为地为W,UW,U打上标签Wt,UtWt,Ut，即认为当确定好时间长度TT，RNN就变成普通的MLP。打上标签后的RNN变成如下：
假如对于时刻t+1t+1产生的误差et+1et+1，我们想计算它对于W1,W2,....,Wt，Wt+1W1,W2,....,Wt，Wt+1的梯度，可以如下计算：
∂et+1∂Wt+1=∂et+1∂ht+1∂ht+1∂Wt+1
∂et+1∂Wt+1=∂et+1∂ht+1∂ht+1∂Wt+1
∂et+1∂Wt=∂et+1∂ht+1∂ht+1∂ht∂ht∂Wt
∂et+1∂Wt=∂et+1∂ht+1∂ht+1∂ht∂ht∂Wt
∂et+1∂Wt−1=∂et+1∂ht+1∂ht+1∂ht∂ht∂ht−1∂ht−1∂Wt−1
∂et+1∂Wt−1=∂et+1∂ht+1∂ht+1∂ht∂ht∂ht−1∂ht−1∂Wt−1
......
......
反复运用链式法则，我们可以求出每一个∇W1,∇W2,....,∇Wt，∇Wt+1∇W1,∇W2,....,∇Wt，∇Wt+1，需要注意的是，实际RNN模型对于W,UW,U都是不打标签的，也就是在不同时刻都是共享同样的参数，这样可以大大减少训练参数，和CNN的共享权重类似。对于共享参数的RNN，我们只需将上述的一系列式子抹去标签并求和，就可以得到Yoshua Bengio论文中所推导的梯度计算式子：
∂et∂W=∑1≤k≤t∂et∂ht∏k<i≤t∂hi∂hi−1∂+hk∂W
∂et∂W=∑1≤k≤t∂et∂ht∏k<i≤t∂hi∂hi−1∂+hk∂W
其中∂+hk∂W∂+hk∂W代表不利用链式法则直接求导，也就是假如对于函数f(h(x))f(h(x))，对其直接求导结果如下：
∂f(h(x))∂x=f′(h(x))
∂f(h(x))∂x=f′(h(x))
也就是将h(x)h(x)看成常数了。网上许多RNN教程都用Yoshua Bengio类似的推导，却省略了这个小步骤，使得初学者常常搞得晕头转向，摸不着头脑。论文中证明了：
||∏k<i≤t∂hi∂hi−1||≤ηt−k
||∏k<i≤t∂hi∂hi−1||≤ηt−k
从而说明了这是梯度求导的一部分环节是一个指数模型，当η<1η<1时，就会出现”gradient vanish”问题，而当η>1η>1时，“gradient explode”也就产生了。
为了克服”gradient vanish”的问题，LSTM和GRU模型便后续被推出了，为什么LSTM和GRU可以克服gradient vanish问题呢？由于它们都有特殊的方式存储”记忆”，那么以前gradient比较大的”记忆”不会像简单的RNN一样马上被抹除，因此可以一定程度上克服gradient vanish问题。
另一个简单的技巧可以用来克服gradient explode的问题就是gradient clipping，也就是当你计算的gradient超过阈值cc的或者小于阈值−c−c时候，便把此时的gradient设置成cc或−c−c。这种trick的表现形式如下图虚线所示：
上图所示是RNN的Error Sufface，可以看到RNN的Error Sufface要么非常陡峭，要么非常平坦，如果不采取任何措施，当你的参数在某一次更新之后，刚好碰到陡峭的地方，此时gradient变得非常大，那么你的参数更新也会非常大，很容易导致震荡问题。而如果你采取了gradient clipping这个技巧，那么即使你不幸碰到陡峭的地方，gradient也不会explode，因为被你限制在某个阈值cc。
有趣的是，正是因为训练深度网络的困难，才导致神经网络这种古老模型沉寂了几十年，不过现在硬件的发展，训练数据的增多，神经网络重新得以复苏，并以重新以深度学习的外号杀出江湖。
参考引用
《Recurrent Neural Networks Tutorial》
《On the difficulty of training recurrent neural networks》