线性基

什么是线性基

若集合(B)=集合(S)能异或出的数字的集合且(|B|)最小，则称集合(B)为集合(S)的线性基

构造

依次插入集合(S)中的每个数字(x)，我们将(x)从高位向地位遍历

假设当前遍历到第(i)位，且(x)二进制下第(i)位为(1)：

若已经存在(p_i)，那么(x)异或(p_i)，否则(p_i=x)，结束

为什么这样做？

首先一个数插入线性基后，那么这个数字一定能被线性基表示出来，因为它本身就是线性基某几位数字异或后再插入进去的

如果一个数字没能插入线性基，那么说明这个数字被线性基中的数字异或到了(0)，已经可以被表示出来了，可以保证集合最小

线性基的一些操作

异或最大值

luoguP3812

求(n)个数字中任选几个的异或最大值

我们构造出线性基,显然线性基有一个性质：(p_i)在二进制下的最高位是第(i)位

那么从高位到地位贪心：如果当前答案异或(p_i)更优，那么就让(ret)异或(p_i)

(k)大异或和

LOJ114

我们构造出线性基之后对线性基进行消元，使得只有(p_i)的第(i)位为(1)，然后我们把中间空出来的位置去掉，对(k)二进制分解，如果(k)第(i)位是(1)就异或上(p_i)

坑点：线性基不能异或出(0)，但是原集合是有可能异或出(0)的

很好判断，如果线性基集合大小 小于 原集合集合大小，说明原集合中有些数字在插入的时候被异或成了(0)而没有插入，所以将(k)改为(k-1)即可

查询某个数能否被异或出

从高位向地位扫，如果这一位是(1)就异或(p_i)，到最后数字变成(0)就可以被异或出

可重集(k)大异或和

luoguP4869

把(S)的所有子集的异或和算出，求(x)的排名

结论题：线性基中每个异或值出现的次数是(2^{n-|B|})

我们考虑把所有数字都插入线性基，那么新的线性基将是原来的线性基加上(n-|B|)个(0)，每个数字都可以自由的选择(0)来异或

线性基+图论

luoguP4151

先假设我们有一条无环的简单路径

我们可以从路径上的一个点，出发到一个环，然后绕环一圈，再原路返回

这样我们原本的路径权值就异或了一个环上的权值

观察到每个环我们都可以自由的选择，那么问题就变成了一条路径权值异或几个环的权值最大，裸的线性基问题

至于简单路径随便选一条就行了，如果有多条说明它们本身成环

CF724G

上一题加强版

按二进制每一位考虑：如果线性基中存在某一位(w)是(1)，那么将一共有(2^{|B|-1})个数字(w)是(1)

如果线性基中某一位(w)是(0)，那么线性基中所有(2^|B|)种组合第(w)位都将是(0)

我们直接枚举二进制位(w)，如果存在(p_w)，那么说明无论(d_u)异或(d_v)是(0)还是(1)，都有(2^{|B|-1})种方案让答案变成(1)

对答案的贡献是(2^w*2^{|B|-1}*C_{n}^{2})

否则，(d_u)和(d_v)中必须恰好一个(w)位是(1)，设(w)位是(1)的(d)有(x)个，则贡献是(2^w*2^{|B|}*x*(n-x))