已知(f(x))是定义在(R)上的不恒为零的函数，且对于任意的(a，b∈R)都满足：(f(a*b)=af(b)+bf(a))
(1) 求(f(0),f(1))的值；
(2)判断(f(x))的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若(f(2)=2，g_n=frac{f(2^{-n})}{n}(n∈N)，)求(g_n的通项)
解答：
(1.)
[f(x)=f(x)+xf(1),f(1)=0
]
[f(0)=f(0+2)=2f(0),f(0)=0
]
(2.)
奇函数，证明：
[f(1)=f(-1^2)=-2f(-1),f(-1)=0
]
[f(-x)=f(-1*x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
]
(3.)
法一：
(f(1)=f(2*2^{-1}))解得(f(2^{-1})=-2^{-1})
[f(2^{-n})=f(2^{-n+1}*2^{-1})
]
[=2^{-1}f(2^{-n+1})+2^{-n+1}*f(2^{-1})
]
[=2^{-1}f(2^{-n+1})-2^{n}
]
两边同除以(2^{n})
[frac{f(2^{-n})}{2^{-n}}=frac{2^{-1}f(2^{-n+1})}{2^{-1}*2^{-n+1}}-1
]
设(h_n=frac{f(2^{-n})}{2^{-n}})
[h_n=h_{n-1}-1=-n
]
[frac{f(2^{-n})}{2^{-n}}=-n
]
[f(2^{-n})=-n2^{-n}
]
[g_n=-2^{-n}
]
法二：
猜测(f(a^n)=na^{n-1}f(a),n=1)时显然成立
当(f(a^k))成立时，假设(n=k+1)
[f(a^{k+1})=a^kf(a)+af(a^k)
]
[=a^kf(a)+kaf(a)
]
[=(k+1)a^kf(a)
]
所以
[f(2^{-n})=-n2^{-n-1}f(2)
]
[=-n2^{-n}
]
[g_n=-2^{-n}
]