已知奇函数(f(x))和偶函数(g(x))满足
[f(x)+g(x)=2log_2(1-x)
]
((1)) 求函数(f(x))和(g(x))的解析式
((2)) 设函数(F(x)=(x+1)*2^{f(x)}-m*2^{g(x)})，若(F(x))在((0,frac{1}{2}))有且只有一个零点，求实数(m)的取值范围
解答：
((1))
设(h(x)=log_2(1-x))
[h(x)=f(x)+g(x)
]
[h(-x)=-f(x)+g(x)
]
解得
[f(x)=frac{h(x)-h(-x)}{2}=log_2(frac{1-x}{1+x})
]
[g(x)=frac{h(x)+h(-x)}{2}=log_2(1-x^2)
]
((2))
将(f(x),g(x))代入(F(x))得
[F(x)=1-x-m*(1-x^2)
]
[F(x)=m*x^2-x+1-m (-1<x<1)
]
当(m=0)时
[F(x)=-x+1
]
不符合题意
当(m eq 0)时
解得
[x_1=1,x_2=frac{1}{m}-1
]
[0<x_2<frac{1}{2}
]
解得(min (frac{2}{3},1))