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  • 对数函数绝对值交点问题

    已知两条直线(l_1:y=m)(l_2:y=frac{8}{2m+1}(m>0))

    (l_1)与函数(y=|log_2x|)的图像从左到右交点为(A,B)(l_2)与函数(y=|log_2x|)的图像从左到右交点为(C,D)

    记线段(AC)(x)轴上投影长度为(a),线段(BD)(x)轴上投影长度为(b),求(frac{b}{a})的最小值

    解答:

    根据题意,图像是一条对数函数的绝对值加两个常函数

    设下面的一条是(l_1),上面那条是(l_2)

    联立解析式可以得出

    [x_A=2^{-m},x_B=2^m,x_C=2^{-frac{8}{2m+1}},x_D=2^{frac{8}{2m+1}} ]

    [frac{b}{a}=frac{|2^{frac{8}{2m+1}}-2^{m}|}{|2^{-m}-2^{-frac{8}{2m+1}}|} ]

    [=frac{|2^{frac{8}{2m+1}}-2^{m}|}{|frac{1}{2^{-m}}-frac{1}{2^{frac{8}{2m+1}}}|} ]

    [=frac{|2^{frac{8}{2m+1}}-2^{m}|} { |frac{2^m-2^{frac{8}{2m-1}}} {2^m2^{frac{8}{2m-1}}}| } ]

    [={2^{m+frac{8}{2m-1}}} ]

    显然(2^x)是增函数,考虑让指数最小

    [m+frac{8}{2m+1}=frac{1}{2}(2m+1)+frac{8}{2m+1}-frac{1}{2}ge 2sqrt{frac{1}{2}*8}-frac{1}{2}=frac{7}{2} ]

    所以(frac{b}{a})最小值为(2^{frac{7}{2}}=8sqrt{2})

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/13285048.html
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