最大流ek算法和dinic算法总结

n为节点数量，m为边数量

EK算法复杂度：O(n*m^2)

dinic算法复杂度：O(n^2*m)

EK算法思想就是先用bfs找到一条增广路（从源点到汇点有流量的路），然后用pre数组记录这条路径上每一个节点的上一个节点。之后利用pre数组完成对这条路上所有边流量的消减，以及增加答案。看代码就清楚了，不复杂

例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3376

EK算法：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#define lson rt << 1
#define rson rt << 1 | 1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxm = 20000 + 10;  //边的数量
const int maxn = 200+10;  //点的数量
ll n, m, st, en,dis[maxn],w[maxn][maxn],pre[maxn],minn[maxn];
vector<ll>e[maxn];
queue<ll>r;
ll bfs(){
  while(!r.empty()) r.pop();
  memset(dis,0,sizeof(dis));
  r.push(st);
  dis[st]=1;
  minn[st]=INF;
  while(!r.empty()){
    ll u=r.front();
    r.pop();
    ll len=e[u].size();
    for(ll i=0;i<len;i++){
      ll v=e[u][i];
      if(!dis[v] && w[u][v]>0){
        minn[v]=min(minn[u],w[u][v]);
        pre[v]=u;
        dis[v]=1;
        if(v==en) return 1;
        r.push(v);
      }
    }
  }
  return 0;
}
ll dfs(){
  ll res=0;
  ll x=en;
  while(x!=st){
    ll p=pre[x];
    w[x][p]+=minn[en];
    w[p][x]-=minn[en];
    x=p;
  }
  res+=minn[en];
  return res;
}
void init(){
  memset(w,0,sizeof(w));
}
int main()
{
  init();
  scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &m,&st,&en);
  while (m--)
  {
    ll u,v,ww;
    scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&ww);
    e[u].push_back(v);
    e[v].push_back(u);
    w[u][v]+=ww;
  }
  ll res=0;
  while(bfs()){
    res+=dfs();
  }
  printf("%lld
",res);
  return 0;
}

EK算法另外一种

// #include <stdio.h> //这个是链表版，这道题卡内存不能用链表
// #include <iostream>
// #include <string.h>
// #include <vector>
// #include <set>
// #include <queue>
// #include <map>
// #include <algorithm>
// #define lson rt << 1
// #define rson rt << 1 | 1
// using namespace std;
// typedef long long ll;
// const int INF = 0x3f3f3f3f;
// const int maxm = 20000 + 10;  //边的数量
// const int maxn = 200+10;  //点的数量
// struct Edge
// {
//   int v, w,next;
// } e[maxm];
// int cnt, n, m, st, en,head[maxn],dis[maxn];
// queue<int>r;
// inline void add_edge(int u,int v,int w){
//   e[cnt].v=v;
//   e[cnt].w=w;
//   e[cnt].next=head[u];
//   head[u]=cnt++;

//   e[cnt].v=u;
//   e[cnt].w=0;
//   e[cnt].next=head[v];
//   head[v]=cnt++;
// }
// int bfs(){
//   while(!r.empty()) r.pop();
//   memset(dis,0,sizeof(dis));
//   r.push(st);
//   dis[st]=1;
//   while(!r.empty()){
//     int u=r.front();
//     r.pop();
//     for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
//       int v=e[i].v;
//       if(!dis[v] && e[i].w>0){
//         dis[v]=dis[u]+1;
//         if(v==en) return 1;
//         r.push(v);
//       }
//     }
//   }
//   return 0;
// }
// int dfs(int u,int flow){
//   if(u==en) return flow;
//   int k,tmp=flow;
//   for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
//     int v=e[i].v;
//     if(dis[v]==dis[u]+1 && e[i].w>0){
//       k=dfs(v,min(tmp,e[i].w));
//       if(!k) dis[v]=0;
//       tmp-=k;e[i].w-=k;e[i^1].w+=k;
//       if(!tmp) break;
//     }
//   }
//   return flow-tmp;
// }
// void init(){
//   cnt=0;
//   memset(head,-1,sizeof(head));
// }
// int main()
// {
//   init();
//   scanf("%d%d%d%d", &n, &m,&st,&en);
//   while (m--)
//   {
//     int u,v,w;
//     scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
//     add_edge(u,v,w);
//   }
//   int res=0;
//   while(bfs()){
//     res+=dfs(st,INF);
//   }
//   printf("%d
",res);
//   return 0;
// }
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#define lson rt << 1
#define rson rt << 1 | 1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 200 + 10;   //点的数量
ll n, m, st, en, dis[maxn], w[maxn][maxn];
vector<int> e[maxn];
queue<ll> r;
ll bfs()
{
  while (!r.empty())
    r.pop();
  memset(dis, 0, sizeof(dis));
  r.push(st);
  dis[st] = 1;
  while (!r.empty())
  {
    ll u = r.front();
    r.pop();
    ll len = e[u].size();
    for (ll i = 0; i < len; i++)
    {
      ll v = e[u][i];
      if (!dis[v] && w[u][v] > 0)
      {
        dis[v] = dis[u] + 1;
        if (v == en)
          return 1;
        r.push(v);
      }
    }
  }
  return 0;
}
ll dfs(ll u, ll flow)
{
  if (u == en)
    return flow;
  ll k, tmp = flow;
  ll len = e[u].size();
  for (ll i = 0; i < len; i++)
  {
    ll v = e[u][i];
    if (dis[v] == dis[u] + 1 && w[u][v] > 0)
    {
      k = dfs(v, min(tmp, w[u][v]));
      if (!k)
        dis[v] = 0;
      tmp -= k;
      w[u][v] -= k;
      w[v][u] += k;
      if (!tmp)
        break;
    }
  }
  return flow - tmp;
}
void init()
{
  memset(w, 0, sizeof(w));
}
int main()
{
  init();
  scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &m, &st, &en);
  while (m--)
  {
    ll u, v, ww;
    scanf("%lld%lld%lld", &u, &v, &ww);
    w[u][v] += ww;
    e[u].push_back(v);
    e[v].push_back(u);
  }
  ll res = 0;
  while (bfs())
  {
    res += dfs(st, INF);
  }
  printf("%lld
", res);
  return 0;
}

dinic算法：

它就是利用bfs对图进行一个分层，然后通过dfs来增广.增广过程除了当前节点x外，还需要传入一个表示“目前为止所有边的最小残量”的limit,当前节点x为汇点或者limit==0时终止dfs过程，否则会多路增广。还有在dfs过程中的一个重要优化：保存每个节点x正在遍历的子边保存在cur[x]以免重复计算遍历过的子边.

cur数组原理是什么呢？其实就是当我们在对一个节点u（假设有多个儿子）进行增广时，把他的儿子1，2的可用流量都用完了，那么在下一次dfs模块走到u时，我们如果可以直接从儿子3开始进行增广就可以大大减少额外的时间开销

cur数组实现:我们可以在dfs里面做一点改动，即先定义一个cur数组，在dfs之前把邻接表的head数组拷贝到cur里面，然后在遍历u的时候同时把cur里面的边的下标后移，以达到将用完的边略去的目的

例题：POJ 3281 Dining

dinic算法：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=10000;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int head[maxn],cnt,st,en,dis[maxn],cur[maxn];
struct edge
{
    int v,next,c,flow;
}e[maxn];
void add_edge(int x,int y,int z)
{
    e[cnt].v=y;
    e[cnt].c=z;
    e[cnt].flow=0;
    e[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt++;
}
bool bfs()
{
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    dis[st]=1;
    queue<int>r;
    r.push(st);
    while(!r.empty())
    {
        int x=r.front();
        r.pop();
        for(int i=head[x];i!=-1;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].v;
            if(!dis[v] && e[i].c>e[i].flow)
            {
                dis[v]=dis[x]+1;
                r.push(v);
            }
        }
    }
    return dis[en];
}
int dinic(int s,int limit)
{
    if(s==en || !limit) return limit;
    int ans=0;
    for(int &i=cur[s];i!=-1;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v,feed;
        if(dis[v]!=dis[s]+1) continue;
        feed=dinic(v,min(limit,e[i].c-e[i].flow));
        if(feed)
        {
            e[i].flow+=feed;
            e[i^1].flow-=feed;
            limit-=feed;
            ans+=feed;
            if(limit==0) break;
        }
    }
    if(!ans) dis[s]=-1;
    return ans;
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int n,f,d;
    scanf("%d%d%d",&n,&f,&d);
    st=0;
    en=2*n+f+d+1;
    for(int i=1;i<=f;++i)
    {
        add_edge(st,2*n+i,1);
        add_edge(2*n+i,st,0);
    }
    for(int i=1;i<=d;++i)
    {
        add_edge(2*n+f+i,en,1);
        add_edge(en,2*n+f+i,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        add_edge(i,n+i,1);
        add_edge(n+i,i,0);
        int sum1,sum2;
        scanf("%d%d",&sum1,&sum2);
        int x;
        for(int j=0;j<sum1;++j)
        {
            scanf("%d",&x);
            add_edge(x+2*n,i,1);
            add_edge(i,x+2*n,0);
        }
        for(int j=0;j<sum2;++j)
        {
            scanf("%d",&x);
            add_edge(n+i,x+f+2*n,1);
            add_edge(x+f+2*n,n+i,0);
        }
    }//主函数从开头到这就是建图

    int ans=0;
    while(bfs())
    {
        for(int i=0;i<=en;i++)
            cur[i]=head[i];
        ans+=dinic(st,1);  //这个1也可以改成无穷大
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}