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关于扩展欧几里得算法(Extended Euclidean Algorithm),我是在做青蛙的约会这一经典题目才接触到这个算法的。后面也有关于这一题的AC代码和解题思路。
内容:已知a, b,求解一组x,y,使它们满足贝祖等式: ax+by =gcd(a, b)
扩展欧几里得算法,就和它的名字一样是对欧几里得算法的扩展。何为扩展?一是,该算法保留了欧几里得算法的本质,可以求a与b的最大公约数。二是,已知a, b求解二元一次方程ax+by =gcd(a, b)的一组解(x,y)。
证明:
假设 a>b,
(1) b=0 gcd(a,b) = a , ax = a , 则x=1,y=0;(这里我还是推荐不把gcd(a,0)理解成最大公约数,而是一个计算机求出来的值)
(2) 假设 ax1+by1=gcd(a,b) (方程一) bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)(方程二);由欧几里得算法gcd(a,b) =gcd(b,a%b) 得到,
ax1+by1 = bx2+(a%b)y2,即ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)
在根据多项式恒等定理(把a,b看成变量),x1=y2; y1=x2-a/b*y2;
(表面上看,就是已知方程一的一组解,可以得到方程二的一组解,已知方程二的一组解,就可以得到方程一的一组解,但是实际情况是,不可能先知道方程一的解(x1,y1)。)上述思想是递归定义的,不断地利用gcd(a,b) =gcd(b,a%b),到b=0(y的系数为0)时,由(1)的解,根据解之间的关系,最终可以得到方程ax+by =gcd(a, b)的解。
递归形式代码:
#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
int x2=x,y2=y;
x=y2;
y=x2-(a/b)*y2;
return gcd;
}
int main()
{
int x,y,a,b;
cout<<"请输入a和b:"<<endl;
cin>>a>>b;
cout<<"a和b的最大公约数:"<<endl;
cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:"<<endl;
cout<<x<<" "<<y<<endl;
return 0;
}
非递归形式代码:
#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
int x1,y1,x0,y0;
x0=1; y0=0;
x1=0; y1=1;
x=0; y=1;
int r=a%b;
int q=(a-r)/b;
while(r)
{
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
x0=x1; y0=y1;
x1=x; y1=y;
a=b; b=r; r=a%b;
q=(a-r)/b;
}
return b;
}
int main()
{
int x,y,a,b;
cout<<"请输入a和b:"<<endl;
cin>>a>>b;
cout<<"a和b的最大公约数:"<<endl;
cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:"<<endl;
cout<<x<<" "<<y<<endl;
return 0;
}
同样有两点想说明:
1.扩展欧几里得算法是对欧几里得算法的扩展,可以求出gcd(a,b),好多人都没意识到这一点。
2.x,y可以用全局变量,参数传递就不用传引用了。