从前有个东西叫树状数组,它可以轻易实现一些简单的序列操作,比如单点修改,区间求和;区间修改,单点求值等.
但是我们经常需要更高级的操作,比如区间修改区间查询.这时候树状数组就不起作用了,只能选择写一个2000GB的线段树交上去然后被卡常—–或者另一个选择是写ZKW线段树,会好一些.
再但是…谁告诉你树状数组不能区间修改区间求和?告诉你,树状数组不仅能实现,而且代码依旧那么短小精悍.
今天我们就来研究研究,如何实现这个更划算的数据结构.
我们已经学会了树状数组的基本操作:单点修改区间查询,或区间修改单点查询(不会的话先去自学吧…这篇文章不适合你…).思考,区间修改单点求值是怎么做到的?只需要维护一个新数组c[i]=a[i]-a[i-1],也就是c[]是a[]的差分数组,修改区间[l,r]+v只需
add(l,v);add(r+1,-v) //从l加到了n，r以后的多加了，所以要再进行次r+1到n加-v的操作
即可.求某个值的时候,只需要把差分数组的前缀和求出来,就是要求的了.
领悟了这个操作以后我们发现,化区间为单点的思想精髓就在于差分二字.利用差分思想,区间修改解决了,接下来就是区间求和公式的推导过程:
sum(1,n)
=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n-1]+a[n]
=c[1]+(c[1]+c[2])+…+(c[1]+c[2]+…+c[n])
=n*(c[1]+c[2]+…+c[n])-(0*c[1]+1*c[2]+2*c[3]+…+(n-1)*c[n]).
发现什么了?
我们开第二个树状数组c2,令c2[i]=c[i]*(i-1),那么…
区间修改[l,r]+=v:
add(c[l],v),add(c[r+1],-v);
add(c2[l],(l-1)*v),add(c2[r+1],-r*v);
求前缀和sum(1,n):
sum(1,n)=n*query_c(n)-query_c2(n).
求区间和sum(l,r):
sum(l,r)=sum(r)-sum(l-1).
至此,树状数组已经轻松实现了区间修改区间求和!
例题:luogu 3372线段树模板 这题用线段树写500+ms,拿裸的树状数组311ms就切掉了,代码也养眼得多.至于zkw的效率如何我不太清楚.
顺便:其实一开始建树的时候没必要把原来数组的元素一个个扔进树里,直接维护一个前缀和,然后计算的时候加上这个前缀和就好了.省去了nlogn的建树操作,会快很多.此处为了增强代码可读性,没有加这一句.
参考博客：
https://ahackh.ac.cn/2017/06/25/%E8%89%AF%E5%BF%83%E8%AF%A6%E8%A7%A3%E6%A0%91%E7%8A%B6%E6%95%B0%E7%BB%84%E3%81%AE%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%BF%AE%E6%94%B9%E6%B1%82%E5%92%8C%E6%9C%89%E8%BF%99%E7%A7%8D%E6%93%8D%E4%BD%9C/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 102333
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
ll a[N],c1[N],c2[N];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(ll *r,int pos, ll v)
{
for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;
}
ll getsum(ll *r,int pos)
{
ll re=0;
for(;pos>0;pos-=lowbit(pos))re+=r[pos];
return re;
}
ll sigma(int r)
{
ll sum1=r*getsum(c1,r),sum2=getsum(c2,r);
return sum1-sum2;
}
ll query(int x,int y)
{
return sigma(y)-sigma(x-1);
}
int flag,x,y;ll k;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
add(c1,i,a[i]-a[i-1]);
add(c2,i,(i-1)*(a[i]-a[i-1]));
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&flag);
if(flag==1)
{
scanf("%d%d%lld",&x,&y,&k);
add(c1,x,k);add(c1,y+1,-k);
add(c2,x,(x-1)*k);add(c2,y+1,y*(-k));
}
else
{
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%lld
",query(x,y));
}
}
return 0;
}
类似题目： 区间
链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/135/I
来源：牛客网
题目描述
Apojacsleam喜欢数组。
他现在有一个n个元素的数组a，而他要对a[L]-a[R]进行M次操作：
操作一：将a[L]-a[R]内的元素都加上P
操作二：将a[L]-a[R]内的元素都减去P
输入描述:
输入共M+3行：
第一行两个数，n，M，意义如“题目描述”
第二行n个数，描述数组。
第3-M+2行，共M行，每行四个数，q，L，R，P，若q为1则表示执行操作2，否则为执行操作1
第4行，两个正整数l，r
输出描述:
一个正整数，为a[l]-a[r]内的元素之和
说明
//树状数组(升级版)
#include <cstdio>
#define lowbit(x) (x&-x)
#define ll long long
#define maxn 1000010
using namespace std;
ll n, q, c1[maxn], c2[maxn], num[maxn];
void add(ll *r, ll pos, ll v)
{for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;}
ll sigma(ll *r, ll pos)
{
ll ans;
for(ans=0;pos;pos-=lowbit(pos))ans+=r[pos];
return ans;
}
int main()
{
ll i, j, type, a, b, v, sum1, sum2;
scanf("%lld",&n);
scanf("%lld",&q);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",num+i);
add(c1,i,num[i]-num[i-1]);
add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));
}
while(q--)
{
scanf("%lld",&type);
if(type!=1)
{
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&v);
add(c1,a,v);add(c1,b+1,-v);
add(c2,a,v*(a-1));add(c2,b+1,-v*b);
} else {
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&v);
add(c1,a,-v);add(c1,b+1,v);
add(c2,a,-v*(a-1));add(c2,b+1,v*b);
}
}
scanf("%lld%lld",&a,&b);
sum1=(a-1)*sigma(c1,a-1)-sigma(c2,a-1);
sum2=b*sigma(c1,b)-sigma(c2,b);
printf("%lld
",sum2-sum1);
return 0;
}