BZOJ 2152: 聪聪可可|点分治

传送门

Description

聪聪和可可是兄弟俩，他们俩经常为了一些琐事打起来，例如家中只剩下最后一根冰棍而两人都想吃、两个人都想玩儿电脑（可是他们家只有一台电脑）……遇到这种问题，一般情况下石头剪刀布就好了，可是他们已经玩儿腻了这种低智商的游戏。他们的爸爸快被他们的争吵烦死了，所以他发明了一个新游戏：由爸爸在纸上画n个“点”，并用n-1条“边”把这n个“点”恰好连通（其实这就是一棵树）。并且每条“边”上都有一个数。接下来由聪聪和可可分别随即选一个点（当然他们选点时是看不到这棵树的），如果两个点之间所有边上数的和加起来恰好是3的倍数，则判聪聪赢，否则可可赢。聪聪非常爱思考问题，在每次游戏后都会仔细研究这棵树，希望知道对于这张图自己的获胜概率是多少。现请你帮忙求出这个值以验证聪聪的答案是否正确。

Input

输入的第1行包含1个正整数n。后面n-1行，每行3个整数x、y、w，表示x号点和y号点之间有一条边，上面的数是w。

Output

以即约分数形式输出这个概率（即“a/b”的形式，其中a和b必须互质。如果概率为1，输出“1/1”）。

Sample Input

5
1 2 1
1 3 2
1 4 1
2 5 3

Sample Output

13/25
【样例说明】
13组点对分别是(1,1) (2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (5,2) (5,3) (5,5)。

【数据规模】
对于100%的数据，n<=20000。

题意：求在树上任选两点，他们的距离为3的倍数的概率。

题解：我们可以统计路径长度为3的倍数的路径数量。树上路径问题可以用到点分治。对于一个无根树我们先找到它的重心作为根结点（因为重心到其他点的距离和最小），如果一个点到根的距离为3的倍数那么我们可以选根和这个点，否则的话我们可以选一对到根的距离%3==1的点和%3==2的点，此时这两点的距离也是3的倍数，因为是两个人分别选一个点所以还要*2。对于根的每个子树进行分治递归计算。注意去重。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 2e4 + 10;
const int INF = 1<<30;
int n,k,Root,ans;
int Tsize;       //当前处理的这棵树的节点数
int maxson[N];   //以i为根的最大子树大小
int sz[N];       //以i为根的树的大小
int cnt[3]={0};
bool vis[N];
vector<pair<int,int> >v[N];
void GetRoot(int u,int fa)  {
    sz[u] = 1;maxson[u] = 0;
    for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) {
        pair<int,int> p = v[u][i];
        if (p.first == fa || vis[p.first]) continue;
        GetRoot(p.first,u);
        sz[u]+=sz[p.first];
        maxson[u] = max(maxson[u],sz[p.first]);
    }
    maxson[u] = max(maxson[u],Tsize-sz[u]);
    if (maxson[Root] > maxson[u]) Root = u;
}
void dfs(int u,int fa,int w) {
    ++cnt[w];
    for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) {
        pair<int,int> p = v[u][i];
        if (p.first == fa || vis[p.first]) continue;
        dfs(p.first,u,(w+p.second)%3);
    }
}
int calc(int u,int w) {
    cnt[0] = cnt[1] = cnt[2] = 0; dfs(u,0,w);
    return cnt[0]*cnt[0]+cnt[1]*cnt[2]*2;
}
void work(int u) {
    vis[u] = 1;ans+=calc(u,0);
    for (int i = 0; i < v[u].size();++i) {
        pair<int,int> p = v[u][i];
        if ( vis[p.first]) continue;
        ans-=calc(p.first,p.second);
        Root = 0,Tsize = sz[p.first];
        GetRoot(p.first,0);
        work(Root);
    }
}
int gcd(int a,int b) { return b?gcd(b,a%b):a;}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        v[x].push_back(make_pair(y,z%3));
        v[y].push_back(make_pair(x,z%3));
    }
    Tsize = n;
    Root = ans = 0;
    maxson[0] = INF;
    GetRoot(1,0);
    work(Root);
    int fm = n*n;
    int tf = gcd(ans,fm);
    printf("%d/%d
",ans/tf,fm/tf);
    return 0;
}