DP从入门到入土

目录

• DAGDP
• 区间DP
• 序列DP
• 树形DP
• 换根DP
• 背包DP
• 期望DP
• 装压DP
• 单调队列优化

DAGDP

食物链
简单的拓扑DP,转移方程通式 (f[v]+=f[u],rd[v]--)
犯错

for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
        {
            int v=e[i].v;
            f[v]+=f[u];
            rd[v]--;
            if (!rd[v]) q.push(v);
        }
/*6,v写成i*/
for (int i=1;i<=n;i++)
        if (!rd[i]) 
        {
            if (cd[i]) f[i]=1;
            q.push(i);
        }
/*特殊情况的处理，入队的对象*/

Code

区间DP

P3205 [HNOI2010]合唱队
这是一种区间DP的典型模板，左右操作，求方案数
对于这类问题，可以分别表示左右两种操作
(f[i][j]) 表示在区间 ([i,j],i) 从左边插入
(g[i][j]) 表示在区间 ([i,j],j) 从右边插入
两个dp数组自然拥有独特的两个阶段

• 对于 (f): 相对于上一区间，要么是从 (i+1) 比较，再加入，或者上一次加进去的是 (j) ，则阶段为(f[i+1][j],g[i+1][j]),
  注意这是上一阶段，换句话说就是该阶段的 (i)是被加入的，也就是上一阶段是不存在 (g[i][j])这中转移状态
• 对于 (g)： 同理可耻，要么是上一次加入的是 (i)，也就是加到左边，即 (f[i][j-1]),要么就是上一次加进去的是 (j-1) ,即 (g[i][j-1]);
  注意上一阶段，不存在 (j) 的情况
  错误 转移方程式抄错

for (int len=2;len<=n;len++)
        for (int i=1;i+len-1<=n;i++)
        {
            int j=i+len-1;
            f[i][j]=(f[i+1][j]*(a[i+1]>a[i])+g[i+1][j]*(a[i]<a[j]))%mod;
            g[i][j]=(f[i][j-1]*(a[j]>a[i])+g[i][j-1]*(a[j]>a[j-1]))%mod;
        }
/*6，抄错，炒成：g[i][j]=(g[i][j-1]*（a[j]>a[i])+g[i][j-1]*(a[j]>a[j-1])%mod/

总结 此类区间DP,转移的方向明确，要么上一阶段的左边要么右边，不需要区间枚举
Code

序列DP

粉刷匠
序列DP
对于每一行 (f[i][j]=max(f[k][j-1]+max(蓝 红，[k,i]))
对于每一行 (dp[i][j])，(i)表示行号，
(dp[i][j]=max(dp[i][j-k]+f[m][k]);)
答案 (dp[n][T]);
注意 处理前缀和优化时出现了错误

for (int k=0;k<l;k++)
                {
//                    int s1=a[i][l]-a[i][k];
//                    int s2=b[i][l]-b[i][k];
                    int js=sum[i][l]-sum[i][k];
                    f[l][r]=max(f[l][r],f[k][r-1]+max(js,l-js-k));
                }

Code

树形DP

小齐挖矿
对于一个子节点，距离最近的要么就是父亲，要么就是父亲去的仓库

Code

女仆咖啡厅桌游吧
tmd 燃起来了！ 有点饲喂量的树形DP

Code

P7103 「C.E.L.U-01」族谱树

• 暴力做法 求每个点的 (LCA)直接询问，不过会超时

• 树形DP
  首先 (LCA)的一种性质，如果以 (i) 为节点的子树具有相同的最近公公祖先 (i),换句话说，若果这个点是某两个点的LCA,那么他的父亲必然是公公祖先

就这一性质，我们假设 (u) 即节点是第 (k) 层节点的最近公共祖先，那么就看看他的儿子 (v)是不是 (k+1)的了，

但是要 (v)成为深度 (k+1) 的LCA,必须满足子树 (v) 的最大深度超过 (k+1)，故我们需要预处理出每个节点的最大深度

还有一种情况，如果 (u) 的儿子有多个，假若存在两个以上的 (v_1,v_2..) 满足 (f(v)>=k+1) ((f[v])表示该点的最大深度),那么他们都不可以成为LCA

Code

P5658 [CSP-S2019] 括号树

P4438 [HNOI/AHOI2018]道路
记忆化搜索，树形思想，公式迷惑
P2899 [USACO08JAN]Cell Phone Network G
水题
P2458 [SDOI2006]保安站岗
水题

换根DP

P3478 [POI2008]STA-Station
换根式子：(f[v]=-size[v]+f[u]+(n-size[v]))
用人话讲就是：根有 (u) 到 (v)时，子树 (u) 全体深度+1（不含子树(v)），子树 (v)全体深度-1

P2986 [USACO10MAR]Great Cow Gathering G

换根水题
(ans)记得开大点，否则60
转移式子：(dp[v]=dp[u]-size[v] imes e[i].w+(sum-size[v]) imes e[i].w)

背包DP

P3188 [HNOI2007]梦幻岛宝珠

关于二进制神奇做法的背包，感觉是在每一位二进制上进行背包

两个转移点

• 同级转移，我们有
  (f[i][j]=max{f[i][j-a[i]]+val[i]})
• 高位转低位我们有
  (f[i][j]=max{f[i][j-k]+f[i-1][min(1000,(k<<1)|(（w&(1<<(b-1)))!=0)]})

位运算

P3423 [POI2005]BAN-Bank Notes

二进制拆分，注意数组越界（拆分写挂，变成负数）

Code

[P1782](https://www.luogu.com.cn/problem/P1782）

典型的旅行商问题，多重背包里套完全背包，我用的是二进制拆分（真好用，虽然60，这里建议直接吸氧！

Code

期望DP

P1654 OSU!

Code

装压DP

讲真的，装压是我见过最优美的DP题目

P1433 吃奶酪

(f[i][s]) 表示起点为 (i),完成状态为 (s) 的最小距离

转移有 (f[i][s]=min{f[j][s-(1<<(i-1)]+dis(i,j)})

优美之处在于：距离不是限制矩阵的大小，只是运算的工具，通过位运算进行判重 if(!(s&(1<<(i-1)),转移也非常优美，更新新的起点，并在二进制状态下更新，beautiftying

[USACO12MAR]Cows in a Skyscraper G

这题让初次学习的我知道了初始化，通过判断该点是否在状态之中，可谓妙哉！if((j)&(1<<k))

(f[i][j]) 表示有i个层时，满状态下的最小体积书
最后用过倒叙判断是否为inf即可

P3226 [HNOI2012]集合选数
一道构造好题！

单调队列优化

P1823 [COI2007] Patrik 音乐会的等待