Kruskal 重构树学习笔记

Kruskal 重构树，即为在 Kruskal 求生成树过程做一小点的修改，将边权作为一个新点的点权，并作为这两个点祖先的的父亲。

那么，我们可以把一张无向图转化为一棵树，就可以配合倍增做一些神奇的操作了。

这棵树甚至还有一些神奇的性质。

1. 是一个二叉树。
2. 如果是按最小生成树建立的话是一个大根堆。
3. 任意两个点路径上边权的最大值为它们的LCA的点权。

时间复杂度是 (O(nlog n)) 的。

NOI 2018 归程 Return Journey

先使用最短路求出每个点到 (1) 号点的最短距离。

然后，根据海拔做 Kruskal 重构树，在重构树上 DFS 求出从一个点到 (1) 号点的最短距离。

然后对于每一个询问 ((x,y))，倍增求出可以跳到最高的点位。

时间复杂度 (O(mlog n+qlog n))。

IOI 2018 狼人 Werewolf

根据 (max(i,j)) 与 (min(i,j)) 建重构树，原问题就变成了，在 (A) 树上求出 (S) 能够在 (v_xge L) 能跳多远，在 (B) 树上求出 (T) 能够在 (v_xle R) 能跳多远。

然后二维点即可。