[LeetCode系列]卡特兰数(Catalan Number) 在求解独特二叉搜寻树(Unique Binary Search Tree)中的应用分析

本文原题: LeetCode.

给定 n, 求解独特二叉搜寻树 (binary search trees) 的个数.

什么是二叉搜寻树?

二叉查找树（Binary Search Tree），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

举个栗子,
给定 n = 3, 共有 5 个.

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3

 

本题的解题思路如下:

设n对应的BST个数为h(n), n-1对应的个数为h(n-1)...依此类推.

那么,

• 把1放在根节点, 2...n放在右侧, 总种类是h(1) * h(n-1)
• 把2放在根节点, 1放在左侧, 3...n放在右侧, 总种类是h(2) * h(n-2)
• ....
• 把n放在根节点, 1...n-1放在左侧, 总种类是h(n-1) * h(1)

所以h(n) = h(1) * h(n-1) + h(2) * h(n-2) +...+ h(n-2) * h(2) + h(n-1) * h(1)

上述h(n)表达式即为卡特兰数.(幽兰止水的CSDN博客)

 

下面是实现的C++代码:

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if (n < 0) return 0;
        vector<int> h(n+1, 0);
        h[0] = 1;
    
        for(int i = 1; i <= n; i++) 
            for (int j = 0; j < i; j++) 
                h[i] += h[j] * h[i-j-1];
    
        return h[n];
    }
};

 

对于此代码本人有一个疑惑, 就是为何h(n) = h(0) * h(n-1) +... 而不是h(n) = h(1) * h(n-1) +... 呢?