GNSS学习笔记-坐标转换

GNSS 坐标转换

GNSS计算主要涉及三个坐标系，地心地固坐标系，地理坐标系和站心坐标系。这里主要介绍一下三个坐标的含义和转换公式。

• 地心地固坐标系如图X,Y,Z表示 (ECEF坐标系)，以地心O为坐标原点，Z轴指向协议地球北极，X轴指向参考子午面与地球赤道的交点，也叫地球坐标系。一般GNSS坐标计算都在地心地固坐标系下进行的。由于地球是椭圆形，有WGS-84和CGC2000等多种标准

• 地理坐标系则通过经度(longitude)，纬度(latitude)和高度(altitude)来表示地球的位置，也叫经纬高坐标系(LLA坐标系)。

• 站心坐标系以用户所在位置P为坐标原点，三个轴分别指向东向，北向和天向，也叫东北天坐标系(enu坐标系)。站心坐标系的天向方向和地理坐标系的高度方向是一致的。站心坐标系用在惯性导航和卫星俯仰角计算中较多。

参数	WGS-84	CGC200
基准椭球体的长半径a	6378137.0 m	6378137.0 m
基准椭球体的极扁率f	1/298.257223565	1/298.257223563
地球自转角速度We	7.2921151467*1e-5	7.2921151467*1e-5
地球引力和地球质量的乘积GM	3986004.418*1e8	3986004.418*1e8
光速	2.99792458*1e8 m/s	2.99792458*1e8 m/s

LLA坐标系转ECEF坐标系

LLA坐标系下的(lon,lat,alt)转换为ECEF坐标系下点(X,Y,Z)

[egin{cases} X=(N+alt)cos(lat)cos(lon)\ Y=(N+alt)cos(lat)sin(lon)\ Z=(N(1-e^2)+alt)sin(lat) end{cases}]

其中e为椭球偏心率，N为基准椭球体的曲率半径

[egin{cases} e^2=frac{a^2-b^2}{a^2}\ N=frac{a}{sqrt{1-e^2sin^2lat}} end{cases}]

由于WGS-84下极扁率(f=frac{a-b}{a}),偏心率e和极扁率f之间的关系：

[e^2=f(2-f) ]

坐标转换公式也可以为

[egin{cases} X=(N+alt)cos(lat)cos(lon)\ Y=(N+alt)cos(lat)sin(lon)\ Z=(N(1-f)^2+alt)sin(lat) end{cases}]

[N=frac{a}{sqrt{1-f(2-f)sin^2lat}} ]

python实现

def lla2ecef(lat,lon,alt):
    WGS84_A = 6378137.0
    WGS84_f = 1/298.257223565
    WGS84_E2 = WGS84_f*(2-WGS84_f)
    deg2rad = math.pi/180.0
    rad2deg = 180.0/math.pi
    lat *= deg2rad
    lon *= deg2rad
    N = WGS84_A/(math.sqrt(1-WGS84_E2*math.sin(lat)*math.sin(lat)))
    x = (N+alt)*math.cos(lat)*math.cos(lon)
    y = (N+alt)*math.cos(lat)*math.sin(lon)
    z = (N*(1-WGS84_f)*(1-WGS84_f)+alt)*math.sin(lat)
    return [x,y,z]

ECEF坐标系转LLA坐标系

ECEF坐标系下点(X,Y,Z)转换为LLA坐标系下的(lon,lat,alt)

[lon=arctan(frac{y}{x}) ]

[alt=frac{p}{cos(lat)-N} ]

[lat=arctanigg[frac{z}{p}igg(1-e^2frac{N}{N+alt}igg)^{-1}igg] ]

[p=sqrt{x^2+y^2} ]

一开始lon是未知的，可以假设为0，经过几次迭代之后就能收敛

ECEF坐标系转enu坐标系

用户所在坐标点(P_0=(x_0,y_0,z_0)),，计算点(P=(x,y,z))在以点(P_{0})为坐标原点的enu坐标系位置((e,n,u))这里需要用到LLA坐标系的数据，(P_0)的LLA坐标点为(LLA_0=(lon_0,lat_0,alt_0))

[egin{gathered} left[ egin{array}{ccc} Delta{x}\Delta{y}\Delta{z} end{array} ight]= left[ egin{array}{ccc} x\y\zend{array} ight]- left[ egin{array}{ccc} x_0\y_0\z_0end{array} ight] end{gathered} ]

[egin{gathered} left[ egin{array}{ccc} e\n\u end{array} ight]=Scdot left[ egin{array}{ccc} Delta{x}\Delta{y}\Delta{z} end{array} ight] end{gathered}= left[ egin{array}{ccc} -sin(lon_0) & cos(lon_0) & 0 \ -sin(lat_0)cos(lon_0) & -sin(lat_0)sin(lon_0) & cos(lat_0) \ cos(lat_0)cos(lon_0) & cos(lat_0)sin(lon_0) & sin(lat_0) end{array} ight]cdot left[ egin{array}{ccc} Delta{x}\Delta{y}\Delta{z} end{array} ight] ]

即坐标变换矩阵(S=left[ egin{array}{ccc} -sin(lon_0) & cos(lon_0) & 0 \ -sin(lat_0)cos(lon_0) & -sin(lat_0)sin(lon_0) & cos(lat_0) \ cos(lat_0)cos(lon_0) & cos(lat_0)sin(lon_0) & sin(lat_0) end{array} ight])

enu坐标系转ECEF坐标系

(S)为单位正交矩阵

[mathbf{S}^{-1}=mathbf{S}^mathrm{T} ]

反之

[egin{gathered} left[ egin{array}{ccc} Delta{x}\Delta{y}\Delta{z}end{array} ight]=S^{-1}cdotleft[ egin{array}{ccc} e\n\uend{array} ight]= mathbf{S}^mathrm{T}cdotleft[ egin{array}{ccc} e\n\uend{array} ight] end{gathered} ]

LLA坐标系转enu坐标系

上述可以看到，从LLA坐标系转换到enu坐标系有较多计算量，在考虑地球偏心率(e)很小的前提下，可以做一定的近似公式计算

[left[ egin{array}{ccc} Delta e\ Delta n \ Delta u end{array} ight]= left[egin{array}{ccc} acdot cos(lat)cdot Delta lon & 0 & 0 \ 0 & a cdot Delta lat & 0 \ 0 & 0 & Delta alt end{array} ight] ]