動態規劃（其二）

作者：徐凯强 Andy
链接：https://www.zhihu.com/question/23995189/answer/35324479
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动态规划中递推式的求解方法不是动态规划的本质。

我曾经作为省队成员参加过NOI，保送之后也给学校参加NOIP的同学多次讲过动态规划，我试着讲一下我理解的动态规划，争取深入浅出。希望你看了我的答案，能够喜欢上动态规划。

0. 动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义。
引自维基百科

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.

动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。
本题下的其他答案，大多都是在说递推的求解方法，但如何拆分问题，才是动态规划的核心。
而拆分问题，靠的就是状态的定义和状态转移方程的定义。

1. 什么是状态的定义？

首先想说大家千万不要被下面的数学式吓到，这里只涉及到了函数相关的知识。
我们先来看一个动态规划的教学必备题：

给定一个数列，长度为N，
求这个数列的最长上升（递增）子数列（LIS）的长度.
以
1 7 2 8 3 4
为例。
这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4，长度为4；
次长的长度为3， 包括 1 7 8; 1 2 3 等.

要解决这个问题，我们首先要定义这个问题和这个问题的子问题。
有人可能会问了，题目都已经在这了，我们还需定义这个问题吗？需要，原因就是这个问题在字面上看，找不出子问题，而没有子问题，这个题目就没办法解决。

所以我们来重新定义这个问题：

给定一个数列，长度为N，
设为：以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度.
求 中的最大值.

显然，这个新问题与原问题等价。
而对于来讲，都是的子问题：因为以第k项结尾的最长递增子序列（下称LIS），包含着以第中某项结尾的LIS。

上述的新问题也可以叫做状态，定义中的“为数列中第k项结尾的LIS的长度”，就叫做对状态的定义。
之所以把做“状态”而不是“问题” ，一是因为避免跟原问题中“问题”混淆，二是因为这个新问题是数学化定义的。

对状态的定义只有一种吗？当然不是。
我们甚至可以二维的，以完全不同的视角定义这个问题：

给定一个数列，长度为N，
设为：
在前i项中的，长度为k的最长递增子序列中，最后一位的最小值. .
若在前i项中，不存在长度为k的最长递增子序列，则为正无穷.
求最大的x，使得不为正无穷。

这个新定义与原问题的等价性也不难证明，请读者体会一下。
上述的就是状态，定义中的“为：在前i项中，长度为k的最长递增子序列中，最后一位的最小值”就是对状态的定义。

2. 什么是状态转移方程？
上述状态定义好之后，状态和状态之间的关系式，就叫做状态转移方程。

比如，对于LIS问题，我们的第一种定义：

设为：以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度.

设A为题中数列，状态转移方程为：

（根据状态定义导出边界情况）

用文字解释一下是：
以第k项结尾的LIS的长度是：保证第i项比第k项小的情况下，以第i项结尾的LIS长度加一的最大值，取遍i的所有值（i小于k）。

第二种定义：

设为：在数列前i项中，长度为k的递增子序列中，最后一位的最小值

设A为题中数列，状态转移方程为：

若则
否则：

（边界情况需要分类讨论较多，在此不列出，需要根据状态定义导出边界情况。）
大家套着定义读一下公式就可以了，应该不难理解，就是有点绕。

这里可以看出，这里的状态转移方程，就是定义了问题和子问题之间的关系。
可以看出，状态转移方程就是带有条件的递推式。

3. 动态规划迷思
本题下其他用户的回答跟动态规划都有或多或少的联系，我也讲一下与本答案的联系。

a. “缓存”，“重叠子问题”，“记忆化”：
这三个名词，都是在阐述递推式求解的技巧。以Fibonacci数列为例，计算第100项的时候，需要计算第99项和98项；在计算第101项的时候，需要第100项和第99项，这时候你还需要重新计算第99项吗？不需要，你只需要在第一次计算的时候把它记下来就可以了。
上述的需要再次计算的“第99项”，就叫“重叠子问题”。如果没有计算过，就按照递推式计算，如果计算过，直接使用，就像“缓存”一样，这种方法，叫做“记忆化”，这是递推式求解的技巧。这种技巧，通俗的说叫“花费空间来节省时间”。都不是动态规划的本质，不是动态规划的核心。

b. “递归”：
递归是递推式求解的方法，连技巧都算不上。

c. "无后效性"，“最优子结构”：
上述的状态转移方程中，等式右边不会用到下标大于左边i或者k的值，这是"无后效性"的通俗上的数学定义，符合这种定义的状态定义，我们可以说它具有“最优子结构”的性质，在动态规划中我们要做的，就是找到这种“最优子结构”。
在对状态和状态转移方程的定义过程中，满足“最优子结构”是一个隐含的条件（否则根本定义不出来）。对状态和“最优子结构”的关系的进一步解释，什么是动态规划？动态规划的意义是什么？ - 王勐的回答 写的很好，大家可以去读一下。

需要注意的是，一个问题可能有多种不同的状态定义和状态转移方程定义，存在一个有后效性的定义，不代表该问题不适用动态规划。这也是其他几个答案中出现的逻辑误区：
动态规划方法要寻找符合“最优子结构“的状态和状态转移方程的定义，在找到之后，这个问题就可以以“记忆化地求解递推式”的方法来解决。而寻找到的定义，才是动态规划的本质。

有位答主说：

分治在求解每个子问题的时候，都要进行一遍计算
动态规划则存储了子问题的结果，查表时间为常数

这就像说多加辣椒的菜就叫川菜，多加酱油的菜就叫鲁菜一样，是存在误解的。

文艺的说，动态规划是寻找一种对问题的观察角度，让问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。寻找看问题的角度，才是动态规划中最耀眼的宝石！（大雾）