洛谷P1776 宝物筛选

题目描述

终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。

       这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。

        小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为W的采集车，洞穴里总共有n种宝物，每种宝物的价值为vi，重量为wi，每种宝物有mi件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

输入格式

第一行为一个整数n和W，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。接下来n行每行三个整数vi,wi,mi。

输出格式

输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

输入输出样例

输入：
4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3
输出：
27

下面就是这道题的题解！

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这道题好像就是多重背包

多重背包有很多种思路去做，我会的一共有两种：

---

第一种是把多重背包看成是01背包来做 

就直接说这个题，每种宝物有一个或者多个，我们可以把这多个看成是不同的物体，这样就是一个普通的01背包问题

但是嘞，这么做时间复杂度会暴增，肯定会爆掉几个点所以这个问题就不能用这个方法去做

所以直接进入下个方法：

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这个方法用到了二进制的思想

怎么硕呢

举个例子，一个数13，有这么几个数：1,2,4,8,16...（我绝对不会告诉你这是以2为底数的幂）

要求用这些数凑齐13，很简单1+4+8＝13，

其他的任何正整数都可以凑出来，为什么呢？

把这些以2为底数的幂全部用2进制表示：

1-＞1

2->10

4->100

8->1000

......

然后来凑数x

x用二进制来表示肯定是1和0组成的，然后看上面的数，每一个以2为底数的幂都在每个二进制位上有一个单独的1，其他都是0

也就是说，所有1和0的组合都能够加出来

所以，以2为底数的幂相加可以凑出任何一个正整数。

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好了，证明完了，现在做题

在这个题目中，我们可以不把宝物数量分成一个一个的，而是分成上面所说的数字

这样时间复杂度会大大降低。

下面直接上代码（数据很水，这种非最优方法就能过）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define inf 100000000
using namespace std;
//状态：dp[i][j]表示前i个物品占用体积为j时所获得的的最大价值。
//转移方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j]
//                  dp[i-1][j-w[i]]+v[i]
//                         ........
//                  dp[i-1][j-n[i]*w[i]]+n[i]*v[i])
//复杂度：O(Σlogn[i]*m)
int n0,v0,w0,v[100001],w[100001],dp[1001][1001]; 
int main()
{
    int N,V;
    cin>>N>>V;
    int d=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        cin>>v0>>w0>>n0;
        int k=1;
        while(n0>=k)
        { 
            v[++d]=k*v0;
            w[d]=k*w0;
            n0-=k;
            k*=2;
        } 
        if(n0!=0)
        {
            v[++d]=n0*v0,w[d]=n0*w0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=d;i++)
        for(int j=V;j>=0;j--)
        {
            if(j-w[i]>=0)
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            else
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=V;i++)
    {
        ans=max(dp[d][i],dp[d][i-1]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

最后祝大家AC所有题！

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