题目描述
思路
这是一道区间 (DP) 的经典问题,很早就想做这道题目,可是一直没有做。
考虑最后合并为一堆石子肯定是由两堆石子合并起来得到的,然而这两堆石子也是由上面的情况得到的。所以这个问题就转化为了一个无限递归的子问题。
我们设 (f[i][j]) 为合并 ([i,j]) 这些石子所花费的最小代价,所以转移就有
[f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]) kin[l,r)
]
其中 (sum[i][j]) 是 ([i,j]) 区间内所有石子的总花费,因为你不论怎样合并,这次合并的都要加这些代价。需要注意的是 (k<r) 因为如果 (k=r) 那么 (k+1>r) 就不符合条件的区间了。
然后我们就愉快地解决了这道题目。
等等,这道题目是在环上,我们可以断环为链,其实就是在将数组复制一遍,这样可以证明可以包含环上的所有情况,其实这样就将问题转化为了在 (2n) 合并相邻的 (n) 个石子的最小代价。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using std::min;
using std::max;
const int N=2e2+10,INF=1e7+100;
int n;
int a[N];
int f[N][N],ff[N][N],sum[N][N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",a+i);
a[i+n]=a[i];
}
for (int i=1;i<=n*2;i++)
{
int now=0;
for (int j=i;j<=n*2;j++)
{
now+=a[j];
sum[i][j]=now;
}
}
for (int i=1;i<=n*2;i++)
{
for (int j=1;j<=n*2;j++)
f[i][j]=INF;
}
for (int i=1;i<=n*2;i++)
f[i][i]=0;
for (int len=2;len<=n;len++)
{
for (int l=1;l<=n*2;l++)
{
int r=l+len-1;
if (r>n*2) break;
for (int k=l;k<=r-1;k++)
{
f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+sum[l][r]);
ff[l][r]=max(ff[l][r],ff[l][k]+ff[k+1][r]+sum[l][r]);
}
}
}
int minn=INF,maxx=0;
for (int i=1;i<=n*2;i++)
{
if (i+n-1>n*2) break;
minn=min(minn,f[i][i+n-1]);
maxx=max(maxx,ff[i][i+n-1]);
}
printf("%d
%d
",minn,maxx);
return 0;
}