学习笔记：数学-GCD与LCM-唯一分解定理（质因数分解）

唯一分解定理

(质因数分解) 所有大于 (1) 的正整数都可以被唯一表示有限个质数的乘积形式（这个形式又可以叫标准分解式）

[displaystyleforall nin N^+ ,n eq1, n=p_1^{alpha_1}*p_2^{alpha_2}*dots*p_n^{alpha_n} ,mbox{其中 }p_1<p_2<dots<p_nmbox{ 且全为质数},alpha_i eq0 ]

原理

通过筛法得到一个质数表，挨个挨个除，能整除多少次那这个质数就有多少次幂。枚举质数的范围应该是(2sim sqrt{n})​​​（这个的原因请看推论-因数的合数大小）。这样把成对的因数除完还有可能剩下一个单独的质因数，再单独加到分解的结果中就可以了。
当然数据小的话不用质数表直接挨个枚举也应该不是问题

代码

（变量名与公式中的各项保持一致）

int pri[MX];//预处理完成后得到的质数表
int p[MX],a[MX];//p记录所有质因数的值,a记录所有质因数的幂,(记录方式和之前的pri记录方式一样)
void PrimeDevide(int num){
    for(int i=1;i<pri[0] && pri[i]*pri[i]<=num;i++){
        if(num%pri[i]==0){//找到因数
            p[++p[0]]=pri[i];
            while(num%pri[i]==0){//将该因数除去并根据循环次数统计幂
                a[p[0]]++;
                num/=pri[i];
            }
        }
    }
    if(num!=1){//可能剩下单个质因数
        p[++p[0]]=num;
        a[p[0]]=1;
    }
}

推论

合数的因数大小

若 (n)​​​​​​​ 为合数，则其标准分解式中必满足 (exist p | n, pleq sqrt{n})​​​​​​​​ （这个其实相当于是约数的性质）

理解

因为因数必然是成对存在的嘛，一个小于(sqrt n)​​，一个大于(sqrt n)​​，（假设两个都小于，那么这两个的乘积一定小于 (n)​​ ；假设两个都大于，那么这两个的乘积一定大于 (n)​​ 。两个假设都矛盾，原结论得证）所以这个推论其实可以表示为通过确定 (1sim sqrt{n}) ​​范围的所有因数就可以找到 (n) 所有成对的因数

因数个数公式

通过对标准分解式中各个质因数的组合可以枚举出所有的因数，而这里组合的方案数就是因数的个数，它与标准分解式中质因数的指数是满足乘法原理的：（这里设因数个数为 (x) )

[x=(alpha_1+1)*(alpha_2+1)*dots*(alpha_n+1)，mbox{其中 }alpha_imbox{ 是 }p_imbox{ 的指数} ]

理解

对于 (n) 的每一个因数，都必然也可以用 (n) 的标准分解式的形式表示出来，不过有一点不同：(alpha_i)在这里是可以取到0的（也就是说这个因数不包含(p_i)这个质因子）。当我们要通过标准分解式构造因数时，每一个质因子的指数的不同的取法就是 (0simalpha_i) 一共 (alpha_i+1) 种，而且每一个质因子取多少次幂是独立的，那么总共取出来的方案数也就必然满足乘法原理，那么乘起来就好啦

因数和公式

同样是通过改变标准分解式中质因数的指数来计算的，只不过我们将单纯的质数相乘变成了这样：（这里设因数和为(sum)）

[egin{align} sum&=(p_1^{alpha_1}+p_1^{alpha_1-1}+dots+1)*(p_2^{alpha_2}+p_2^{alpha_2-1}+dots+1)*dots*(p_n^{alpha_n}+p_n^{alpha_n-1}+dots+1) \ &=frac{p_1^{alpha_1}-1}{p_1-1}*frac{p_2^{alpha_2}-1}{p_2-1}*dots*frac{p_n^{alpha_n}-1}{p_n-1}，mbox{其中 }alpha_imbox{ 是 }p_imbox{ 的指数} end{align} ]

理解

如果只看一个质因数，那么在固定其他的情况下，这个因数就可以为因数和做出它所有次幂的贡献，然后还是乘起来就行啦