阿波罗尼斯圆

[教材出处]

已知点 \(M\) 与两个定点 \(O(0,0),A(3,0)\) 的距离的比为 \(\dfrac{1}{2}\)，求点 \(M\) 的轨迹方程.

解析

设 \(M(x,y)\)，依题意有 \(\dfrac{MO}{MA}=\dfrac{1}{2}\)，即:

\[\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}}=\dfrac{1}{2} \]

化简得：

\[(x+1)^2+y^2=4 \]

则点 \(M\) 是以 \((-1,0)\) 为圆心，\(2\) 为半径的圆.

定理

给定平面内两点 \(A,B\)，设点 \(P\) 在同一平面内且满足 \(\dfrac{PA}{PB}=\lambda\)，当 \(\lambda>0\) 且 \(\lambda\neq1\) 时，点 \(P\) 的轨迹是一个圆，称为 阿波罗尼斯圆 .

证明

设 \(A(-a,0),B(a,0),P(x,y),(a>0)\)，由 \(\dfrac{PA}{PB}=\lambda\) 得：

\[\dfrac{\sqrt{(x+a)^2+y^2}}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}=\lambda \]

化简得：

\[x^2+y^2+\left(\dfrac{1+\lambda^2}{1-\lambda^2}\right)\cdot2ax+a^2=0 \]

当 \(\lambda>0\) 且 \(\lambda\neq1\) 时，\(D^2+E^2-4F=4a^2\left[\left(\dfrac{1+\lambda^2}{1-\lambda^2}\right)^2-1\right]=\)\(4a^2\left(\dfrac{4\lambda^2}{(1-\lambda^2)^2}\right)>0\)，则点 \(P\) 是以 \(\left(\left(\dfrac{\lambda^2+1}{\lambda^2-1}\right)a,0\right)\) 为圆心，\(\dfrac{2\lambda a}{|\lambda^2-1|}\) 为半径的圆 .

习题

1. 若 \(AB=2,AC=\sqrt{2}BC\)，则 \(S_{\triangle ABC}\) 的最大值是______.

2. 在等腰三角形 \(ABC\) 中，\(AB=AC\)，若 \(AC\) 边上中线长为 \(6\) ，则 \(S_{\triangle ABC}\) 的最大值为______.

3. 圆 \(O_1\) 与圆 \(O_2\) 的半径都是 \(1\),\(O_1O_2=4\) ，过动点 \(P\) 分别作圆 \(O_1\) 与圆 \(O_2\) 的切线 \(PM,PN\)\((M,N\)分别为切点\()\)，使得 \(PM=\sqrt{2}PN\) . 建立适当坐标系，求动点 \(P\) 的轨迹方程.

4. 已知直角坐标平面上点 \(Q(2,0)\) 和圆 \(C:x^2+y^2=1\)，动点 \(M\) 到圆 \(C\) 的切线长与 \(|MQ|\) 的比等于常数 \(\lambda(\lambda>0)\) . 求动点 \(M\) 的轨迹方程，说明它是什么曲线 .