隐零点

题目

已知 (f(x)=dfrac{ax^2+x-1}{{ m e}^x}) .

(1) 求由线 (y=f(x)) 在点 ((0,-1)) 处的切线方程；

(2) 证明：当 (ageq1) 时，(f(x)+{ m e}geq0) .

解析

(1) 求得(f(x)) 的导数为$$f'(x)=dfrac{-ax^2+(2a-1)x+2}{{ m e}^x}$$所以 (k=f'(0)=2) , 所以切线方程为 (y=2x-1) .

(2) 证明：依题意$$f(x)+{ m e}geq0 Longleftrightarrow dfrac{ax^2+x-1+{ m e}^{x+1}}{{ m e}^x}geq0Longleftrightarrow ax^2+x-1+{ m e}^{x+1}geq0$$

令 (g(x)=ax^2+x-1+{ m e}^{x+1}) , 则 $$g'(x)=2ax+1+{ m e}^{x+1}$$ $$g''(x)=2a+{ m e}^{x+1}$$

因为 (ageq1) ，所以 (g''(x)>0) ，所以 (g'(x)) 单调递增. 而 $$g'(-dfrac1a)=2acdot(-dfrac1a)+1+{ m e}^{1-dfrac1a}={ m e}^{1-dfrac1a}-1geq0$$ .
而 (ageq 1Rightarrow -1leq1-dfrac2a<1Rightarrowdfrac{1}{ m e}leq{ m e}^{1-dfrac2a}<{ m e}) ，所以

[g'(-dfrac2a)={ m e }^{1-dfrac2a}-3<0 ]

所以存在 (x_0in(-dfrac2a,-dfrac1a]) ，使得 (g'(x_0)=2ax_0+1+{ m e}^{x_0+1}=0) , ( 此处可推出 ({ m e}^{x_0+1}=-2ax_0-1) ，以备后用 ) 故 (g(x)) 在 ((-infty,x_0)) 上 (searrow) ， 在 ((x_0,+infty)) 上 ( earrow) . 所以

[g(x)_{min}=g(x_0)=ax_0^2+x_0-1+{ m e}^{x_0+1}=ax_0^2+(1-2a)x_0-2=a(x_0+dfrac1a)(x_0-2)geq0 ]

所以(g(x)geq g(x)_{min}geq0) ，得证 .

注：因为 (x_0leq-dfrac1a) ， 所以 (x_0+dfrac1aleq0) ， (x_0-2<0) .