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  • 向量与三角

    [题目]
    如图,等边 \(△ABC\) 的边长为 \(2\) ,顶点 \(B,C\) 分别在 \(x\) 轴的非负半轴,\(y\) 轴的非负半轴上滑动,\(M\)\(AB\) 中点,则 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}\) 的最大值为 \((\qquad)\)

    \(A.\sqrt{7}\qquad\qquad B.\dfrac{5}{2}+\sqrt{7}\qquad\qquad C. \dfrac{7}{2}\qquad\qquad D. 3+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

    **[解析]** 如图,设 $\angle OBC=\theta ,\theta\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$ , 则 $OB=2\cos\theta,OC=2\sin\theta$ .所以$$\begin{array}{clr}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}&=(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA})\cdot(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}) \\ &=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BM}\end{array}$$代入数据得$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}=0+2\cdot2\cos\theta\cdot\cos(\dfrac{\pi}{3}-\theta)+2\sin\theta\cdot1\cdot\cos(\dfrac{\pi}{6}-\theta)+2\cdot1\cdot\cos\dfrac{\pi}{3}$$化简得$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}=\sqrt{7}\sin(2\theta+\varphi)+\dfrac{5}{2}$$所以 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}$ 的最大值为 $\dfrac{5}{2}+\sqrt{7}$.
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lbyifeng/p/9851619.html
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