这是从网上看到的两篇博客感觉挺好的就转过来，留作复习的材料。
转载来源：http://www.cnblogs.com/superbin/archive/2010/08/02/1790467.html
线段树(interval tree) 是把区间逐次二分得到的一树状结构，它反映了包括归并排序在内的很多分治算法的问题求解方式。
上图是一棵典型的线段树，它对区间[1,10]进行分割，直到单个点。这棵树的特点
是：
1. 每一层都是区间[a, b]的一个划分，记 L = b - a
2. 一共有log2L层
3. 给定一个点p，从根到叶子p上的所有区间都包含点p，且其他区间都不包含点p。
4. 给定一个区间[l; r]，可以把它分解为不超过2log2 L条不相交线段的并。
其中第四点并不是很显然，图8.1显示了[2, 8]的分解方式，深灰色结点为分解后的
区间，浅灰色结点是递归分解过程中经过的结点。为了叙述方便，下面称树中的结点
所对应的区间为树中区间。
从第3点和第4点可以得出结论：修改一个点只用修改log2 L个树中区间信息，而统计一个区间只需要累加2log2 L个树中区间的信息，且访问的总结点数是O(log L)的。两个操作都很容易实现。
动态统计问题I 有一个包含n个元素的整数数组A，每次可以修改一个元素，也可以询问某一个区间[l; r]内所有元素的和。如何设计算法，使得修改和询问操作的时间复杂度尽量低？
方法一 直接做， 则修改操作是O(1)的， 但询问需要进行累加， 时间复杂度为O(r ¡ l)，最坏情况为O(n)。
方法二 建立一棵线段树，每个树中区间记录该区间的元素和，则由刚才的结论，修改元素时只需要修改log2 L个树中区间的元素和，而统计时只需要累加2log2 L个树中区间的元素和，两个操作都是O(log n)的，比方法一好很多。
动态统计问题II 有一个包含n个元素的整数数组A，每次可以同时给一个区间[l; r]内的数同时增加一个数d（d可以为负），也可以询问某一个数Ai的值。如何设计算法，使得修改和询问操作的时间复杂度尽量低？
如何快速修改一个区间？修改一个树中区间[a; b]将影响到以[a; b]为根的整棵子树和它的所有祖先，所以如果沿用刚才的线段树定义，是不可能快速实现区间修改操作的。
解决方法是借用数据结构中常用的懒操作"的思想，只记录有哪些操作需要执行，而不去真正执行这些操作。换句话说，在需要给树中区间[l; r]的元素同时增
加d时，我们只记录曾经有一条指令add(l, r, d)"就可以了。我们把记录的这个值称为树中区间的add值，则叶结点的元素值为它所有祖先的add值之和。根据前面的结论，每一条任意区间的修改指令可以分解成2log2 L个树中区间的修改指令，且修改操作具有叠加性，因此修改操作的时间复杂度为O(log n)。查询操作只
需要累加叶子的所有祖先，它也是O(log n)的。
动态统计问题III 有一个包含n个元素的整数数组A，每次可以同时给一个区间[l; r]内的数同时增加一个数d（d可以为负），也可以询问一个区间[l; r]内所有元素的和。如何设计算法，使得修改和询问操作的时间复杂度尽量低？
显然前两个问题都是此问题的特殊情况，因此这个问题比前两个问题难度更大。注意到上一个问题线段树只能提供叶结点的真正元素和，因为对于任何一个树中区间[l; r]来说，影响它的指令所修改的区间不仅包括它的所有祖先，也包括它的所有后代。所以[l; r]内的所有元素和应该等于[l; r]的所有祖先的add值加上[l; r]所有后代的add值。
但后代有很多，直接累加的时间开销过大。这里需要再一次利用线段的树的区间相加性质，记录一个附加值sum_of_add，表示以[l; r]为根的子树上所有树中区间的add值之和。
修改操作把区间分解为树中区间，修改它们的add值，并且要顺便修改它们父亲的sum_off_add值。由于区间分解过程访问的总结点是O(log L)的，因此修改操作是O(log n)的。
查询操作把区间分解为树中区间，并统计它们所有祖先的add值之和，再与这些树中区间本身的sum_off_add相加即可。
文章出自《算法艺术与信息学竞赛》 ---- 作者：刘汝佳
转载来源：http://www.cnblogs.com/shuaiwhu/archive/2012/04/22/2464583.html
线段树(segment tree)
线段树在一些acm题目中经常见到，这种数据结构主要应用在计算几何和地理信息系统中。下图就为一个线段树：
(PS：可能你见过线段树的不同表示方式，但是都大同小异，根据自己的需要来建就行。)
1.线段树基本性质和操作
线段树是一棵二叉树，记为T(a, b)，参数a,b表示区间[a,b]，其中b-a称为区间的长度，记为L。
线段树T(a,b)也可递归定义为：
若L>1 : [a, (a+b) div 2]为 T的左儿子；
[(a+b) div 2,b]为T 的右儿子。
若L=1 : T为叶子节点。
线段树中的结点一般采取如下数据结构：
struct Node
{
int left,right; //区间左右值
Node *leftchild;
Node *rightchild;
};
线段树的建立：
Node *build(int l , int r ) //建立二叉树
{
Node *root = new Node;
root->left = l;
root->right = r; //设置结点区间
root->leftchild = NULL;
root->rightchild = NULL;
if ( l +1< r )
{
int mid = (r+l) >>1;
root->leftchild = build ( l , mid ) ;
root->rightchild = build ( mid , r) ;
}
return root;
}
线段树中的线段插入和删除：
增加一个cover的域来计算一条线段被覆盖的次数，因此在建立二叉树的时候应顺便把cover置0。
插入一条线段[c,d]：
void Insert(int c, int d , Node *root )
{
if(c<= root->left&&d>= root->right)
root-> cover++;
else
{
if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->leftchild );
if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->rightchild );
}
}
删除一条线段[c,d]:
void Delete (int c , int d , Node *root )
{
if(c<= root->left&&d>= root->right)
root-> cover= root-> cover-1;
else
{
if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->leftchild );
if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->rightchild );
}
}
2.线段树的运用
线段树的每个节点上往往都增加了一些其他的域。在这些域中保存了某种动态维护的信息，视不同情况而定。这些域使得线段树具有极大的灵活性，可以适应不同的需求。
例一：
桌子上零散地放着若干个盒子，桌子的后方是一堵墙。如图所示。现在从桌子的前方射来一束平行光， 把盒子的影子投射到了墙上。问影子的总宽度是多少？
这道题目是一个经典的模型。在这里，我们略去某些处理的步骤，直接分析重点问题，可以把题目抽象地描述如下：x轴上有若干条线段，求线段覆盖的总长度，即S1+S2的长度。
2.1最直接的做法：
设线段坐标范围为[min,max]。使用一个下标范围为[min,max-1]的一维数组，其中数组的第i个元素表示[i,i+1]的区间。数组元素初始化全部为0。对于每一条区间为[a,b]的线段，将[a,b]内所有对应的数组元素均设为1。最后统计数组中1的个数即可。
初始 0 0 0 0 0 [1，2] 1 0 0 0 0 [3，5] 1 0 1 1 0 [4，6] 1 0 1 1 1 [5，6] 1 0 1 1 1
其缺点是时间复杂度决定于下标范围的平方，当下标范围很大时（[0,10000]），此方法效率太低。
2.2离散化的做法：
基本思想：先把所有端点坐标从小到大排序，将坐标值与其序号一一对应。这样便可以将原先的坐标值转化为序号后，对其应用前一种算法，再将最后结果转化回来得解。该方法对于线段数相对较少的情况有效。
示例:
[10000,22000] [30300,55000] [44000,60000] [55000,60000]
排序得10000，22000，30300，44000，55000，60000
对应得1， 2， 3， 4， 5， 6
然后是 [1,2] [3,5] [4,6] [5,6]
初始 0 0 0 0 0 [1，2] 1 0 0 0 0 [3，5] 1 0 1 1 0 [4，6] 1 0 1 1 1 [5，6] 1 0 1 1 1
10000，22000，30300，44000，55000，60000
1， 2， 3， 4， 5， 6
(22000-10000)+(60000-30300)=41700
此方法的时间复杂度决定于线段数的平方，对于线段数较多的情况此方法效率太低。
2.3使用线段树的做法：
给线段树每个节点增加一个域cover。cover=1表示该结点所对应的区间被完全覆盖，cover=0表示该结点所对应的区间未被完全覆盖。
如下图的线段树，添加线段[1,2][3,5][4,6]
插入算法：
void Insert(Node *root , int a , int b)
{
int m;
if( root ->cover == 0)
{
m = (root->left+ root->right)/2 ;
if (a == root->left && b == root->right)
root ->cover =1;
else if (b <= m) Insert(root->leftchild , a, b);
else if (a >= m) Insert(root->rightchild , a, b);
else
{
Insert(root->leftchild ,a, m);
Insert(root->rightchild , m, b);
}
}
}
统计算法：
int Count(Node *root)
{
int m,n;
if (root->cover == 1)
return (root-> right - root-> left);
else if (root-> right - root-> left== 1 )return 0;
m= Count(root->leftchild);
n= Count(root->rightchild);
return m+n;
}