二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）。不讲带权二分图的最佳匹配。
二分图：简单来说，假设图中点能够被分为两组，而且使得全部边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合。当中随意两条边都没有公共顶点。
比如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边。它们的含义很显然。比如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其它顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边。其它边为非匹配边。
最大匹配：一个图全部匹配中，所含匹配边数最多的匹配。称为这个图的最大匹配。
图 4 是一个最大匹配。它包括 4 条匹配边。
完美匹配：假设一个图的某个匹配中，全部的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。
显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的不论什么一个点都已经匹配，加入一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并不是每一个图都存在完美匹配。
举例来说：例如以下图所看到的，假设在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。
是否可能让全部男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。假设换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩能够配对儿？这就是最大匹配问题。
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法。以下讲的概念都为这个算法服务。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，假设途径还有一个未匹配点（出发的点不算）。则这条交替路称为增广路（agumenting path）。比如，图 5 中的一条增广路如图 6 所看到的（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此。研究增广路的意义是改进匹配。仅仅要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换就可以。因为中间的匹配节点不存在其它相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。
交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们能够通过不停地找增广路来添加匹配中的匹配边和匹配点。
找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。
匈牙利算法正是这么做的。
在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本号的代码之前，先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发执行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路）。直到不能再扩展为止。
比如。由图 7，能够得到如图 8 的一棵 BFS 树：
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），可是匈牙利树要求全部叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。
假设原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这样的情况如图 9 所看到的（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
以下给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本号的代码：
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// 顶点、边的编号均从 0 開始
// 邻接表储存
struct
Edge
{
int
from;
int
to;
int
weight;
Edge(int
f,
int
t,
int
w):from(f),
to(t),
weight(w)
{}
};
vector<int>
G[__maxNodes];
/* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
vector<Edge>
edges;
typedef
vector<int>::iterator
iterator_t;
int
num_nodes;
int
num_left;
int
num_right;
int
num_edges;
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int
matching[__maxNodes];
/* 存储求解结果 */
int
check[__maxNodes];
bool
dfs(int
u)
{
for
(iterator_t
i
=
G[u].begin();
i
!=
G[u].end();
++i)
{
// 对 u 的每一个邻接点
int
v
=
edges[*i].to;
if
(!check[v])
{
// 要求不在交替路中
check[v]
=
true;
// 放入交替路
if
(matching[v]
==
-1
||
dfs(matching[v]))
{
//
假设是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功
matching[v]
=
u;
matching[u]
=
v;
return
true;
}
}
}
return
false;
// 不存在增广路，返回失败
}
int
hungarian()
{
int
ans
=
0;
memset(matching,
-1,
sizeof(matching));
for
(int
u=0;
u
<
num_left;
++u)
{
if
(matching[u]
==
-1)
{
memset(check,
0,
sizeof(check));
if
(dfs(u))
++ans;
}
}
return
ans;
}
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queue<int>
Q;
int
prev[__maxNodes];
int
Hungarian()
{
int
ans
=
0;
memset(matching,
-1,
sizeof(matching));
memset(check,
-1,
sizeof(check));
for
(int
i=0;
i<num_left;
++i)
{
if
(matching[i]
==
-1)
{
while
(!Q.empty())
Q.pop();
Q.push(i);
prev[i]
=
-1;
// 设 i 为路径起点
bool
flag
=
false;
// 尚未找到增广路
while
(!Q.empty()
&&
!flag)
{
int
u
=
Q.front();
for
(iterator_t
ix
=
G[u].begin();
ix
!=
G[u].end()
&&
!flag;
++ix)
{
int
v
=
edges[*ix].to;
if
(check[v]
!=
i)
{
check[v]
=
i;
Q.push(matching[v]);
if
(matching[v]
>=
0)
{
// 此点为匹配点
prev[matching[v]]
=
u;
}
else
{
// 找到未匹配点，交替路变为增广路
flag
=
true;
int
d=u,
e=v;
while
(d
!=
-1)
{
int
t
=
matching[d];
matching[d]
=
e;
matching[e]
=
d;
d
=
prev[d];
e
=
t;
}
}
}
}
Q.pop();
}
if
(matching[i]
!=
-1)
++ans;
}
}
return
ans;
}
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匈牙利算法的要点例如以下
- 从左边第 1 个顶点開始。挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
- 假设经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1。停止搜索。
- 假设一直没有找到增广路。则不再从这个点開始搜索。
其实，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们能够永久性地把它从图中删去。而不影响结果。
- 因为找到增广路之后须要沿着路径更新匹配，所以我们须要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本号通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本号使用
prev数组。
性能比較
两个版本号的时间复杂度均为
我測试了两种算法的性能。
对于稀疏图，BFS 版本号明显快于 DFS 版本号。而对于稠密图两者则不相上下。在全然随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者率先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者率先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅率先 0.85%。
补充定义和定理：
最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数：选取最少的点，使随意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数：选取最多的点，使随意所选两点均不相连
最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每一个顶点属于且仅属于一条路径。路径长能够为 0（即单个点）。
定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
定理2：最大匹配数 = 最大独立数
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数