Floyd算法——计算图中任意两点之间的最短路径

百度百科定义：传送门

一、floyd算法

说实话这个算法是用来求多源最短路径的算法。

算法原理：

1，从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。

把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i][j]=d，d表示该路的长度；否则G[i][j]=无穷大。定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i][j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i][j]=j。把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i][j] = min( G[i][j], G[i][k]+G[k][j] )，如果G[i][j]的值变小，则D[i][j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

typedef long long int lli;
lli map[5001][5001];
int n;

void floyd()
{
    for (register int i=1;i<=n;i++)
        for (register int j=1;j<=n;j++)
            for (register int k=1;k<=n;k++)
                if (map[i][j]>map[i][k]+map[k][j])
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
}

最后程序中的map[i][j]就是i->j的最短路径长度。

时间复杂度：O(n³)，空间复杂度：S(n²)（用的是邻接矩阵）。

所以一般要用这种算法的题数据范围都会很小（1000的三次方就十亿了，你说呢）

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显然是floyd的板子题

光从n<=100的数据范围就能看出来......

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<time.h>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pr;
const double pi=acos(-1);
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
#define Rep(i,u) for(int i=head[u];i;i=Next[i])
#define clr(a) memset(a,0,sizeof a)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define sc second
ld eps=1e-9;
ll pp=1000000007;
ll mo(ll a,ll pp){if(a>=0 && a<pp)return a;a%=pp;if(a<0)a+=pp;return a;}
ll powmod(ll a,ll b,ll pp){ll ans=1;for(;b;b>>=1,a=mo(a*a,pp))if(b&1)ans=mo(ans*a,pp);return ans;}
ll read(){
    ll ans=0;
    char last=' ',ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-')ans=-ans;
    return ans;
}//head

int n,m,s,t;
double a[105][5],dis[105][105];

int main()
{
    n=read();
    rep(i,1,n)
        a[i][1]=read(),a[i][2]=read();
    memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
    int x,y;
    m=read();
    rep(i,1,m)
    {
        x=read(),y=read();
        dis[y][x]=dis[x][y]=sqrt(pow(a[x][1]-a[y][1],2)+pow(a[x][2]-a[y][2],2));
    }
    s=read(),t=read();
    rep(k,1,n)
        rep(i,1,n)
            rep(j,1,n)
            {
                if((i!=j&&i!=k&&j!=k&&dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
                dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
            }
    printf("%.2lf",dis[s][t]);
    return 0;
}