洛谷P1982 小朋友的数字

题目传送门

这个题的题目有点长，我们先来分析一波。

首先，这个题目中提到了以下几个量

1.最直接的就是每个小盆友手上的数字，这是题目给你的

2.每个小盆友的特征值

　　题目中给的定义是：每个小朋友的特征值等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个（最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。

　　其实就是求一个最大连续子序列和，这个是用DP求的，下面会说到

3.每个小盆友的分数

　　分数的定义是这样的：第一个小朋友的分数是他的特征值，其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。

　　这个东西显然也是可以DP求的，因为满足最优子结构的性质

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我们先来处理一下每个小盆友的特征值

其实就是求最大连续子序列和。

我们令dp[i]为以a[i]结尾的最大连续子序列和（注意这里i一定是被选上的）

那么显然只有两种情况

1.这个连续子序列只有一个元素a[i]，此时dp[i]=a[i]

2.这个连续子序列有多个元素，那么这个子序列就是从前面某个地方a[p]开始（p<i），一直到a[i]结尾，此时dp[i]=dp[i-1]+a[i]

那么要求最大连续子序列显然就是取一个max

状态转移方程：dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i])

该处理特征值了

设t[i]表示第i个小盆友的特征值

然后我们再看题目中给的特征值的定义

特征值等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个（最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。

也就是说这个小盆友是不一定被选上的

难道我们每次都要遍历前面来找到一个最大值？

显然不用。我们可以设置一个maxn用来存储这之前的最大值，然后只需要在每一层dp更新一遍就可以了。

最后别忘了取模，否则爆炸就不提了

代码：

    ll maxn=-0x7fffffff;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i]);
        maxn=max(maxn,dp[i]);
        t[i]=maxn%p;
    }

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然后来求一下每个小盆友的分数

我们先定义一个数组f[i]表示第i个小朋友的分数，ans表示答案，maxn表示之前分数的最大值

回头看分数的定义：第一个小朋友的分数是他的特征值，其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。

那么我们可以得到边界条件：f[1]=t[1]；ans=f[1]

然后也可以得出状态转移方程   maxn=max(maxn,t[i-1]+f[i-1])，f[i]=maxn

判断答案时记得取模

代码：

maxn=-0x7fffffff;
    f[1]=t[1];
    ans=f[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        maxn=max(maxn,t[i-1]+f[i-1]);
        f[i]=maxn;
        if(ans<maxn) ans=maxn%p;
    }

然后这个题就完了

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int ans=0;
    char last=' ',ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-') ans=-ans;
    return ans;
}

const ll MANX=1000005;

ll n,p,ans;
ll dp[MANX],a[MANX],t[MANX],f[MANX];

int main()
{
    n=read(),p=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    ll maxn=-0x7fffffff;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i]);
        maxn=max(maxn,dp[i]);
        t[i]=maxn%p;
    }
    maxn=-0x7fffffff;
    f[1]=t[1];
    ans=f[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        maxn=max(maxn,t[i-1]+f[i-1]);
        f[i]=maxn;
        if(ans<maxn) ans=maxn%p;
    }
    cout<<ans;
}