qbxt DAY4 T3

qbxt DAY4 T3

(k=1)

考虑动态规划

设(f[i][j])表示涂到点(i)，这个点涂的颜色是(j)的最小代价

转移就枚举上一个点涂的颜色

(f[i][j]=min(f[i-1][k])(k!=j)=min(minlimits_{k<j}(f[i-1][k]), minlimits_{k>j}(f[i-1][k])))

后面的式子可以直接前缀和优化。维护(f[i][j])的前缀最小值和后缀最小值，复杂度(O(n^2))

(60pts)

枚举相同颜色的区间((l,r))和颜色(t)，枚举量为(O(nmk))

设(f[i][j])表示前(i)个格子已经染色，并且这个格子不能染成(j)的最小代价

(g[i][j])表示后(i)个格子已经染色，并且这个格子不能染成(j)的最小代价

分别对(f)和(j)进行上述的前缀和优化

	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	memset(fl, 0x3f, sizeof(fl));
	memset(fr, 0x3f, sizeof(fr));
	for(int j = 1; j <= m; j ++) f[0][j] = fl[0][j] = fr[0][j] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
			f[i][j] = cost[i][j] + min(fl[i - 1][j - 1], fr[i - 1][j + 1]);
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
			fl[i][j] = min(f[i][j], fl[i][j - 1]);
		for(int j = m; j >= 1; j --)
			fr[i][j] = min(f[i][j], fr[i][j + 1]);
	}
	memset(g, 0x3f, sizeof(g));
	memset(gl, 0x3f, sizeof(gl));
	memset(gr, 0x3f, sizeof(gr));
	for(int j = 1; j <= m; j ++)
		g[n + 1][j] = gl[n + 1][j] = gr[n + 1][j] = 0;
	for(int i = n; i >= 1; i --)
	{
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
			g[i][j] = cost[i][j] + min(gl[i + 1][j - 1], gr[i + 1][j + 1]);
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
			gl[i][j] =min(g[i][j], gl[i][j - 1]);
		for(int j = m; j >= 1; j --)
			gr[i][j] =min(g[i][j], gr[i][j + 1]);
	}

(100pts)

先枚举颜色(t)，将上述做法枚举区间进行优化

代价为(dpL[l-1][t]+Sum[r][t]-Sum[l-1][t]+dpr[r][t])

​ $ =(dpL[l-1][t] -Sum[l-1][t])+(Sum[r][t]+dpr[r][t])$ 单调队列优化

设(A[i] = sum[i][j] + min(gl[i + 1][j - 1], gr[i + 1][j + 1])\ B[i] = min(fl[i - 1][j - 1], fr[i - 1][j + 1]) - sum[i - 1][j])

可以单调队列搞一下

	int ans = 1e9;
	for(int j = 1; j <= m; j ++)
	{
		l = 1, r = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
		{
			A[i] = sum[i][j] + min(gl[i + 1][j - 1], gr[i + 1][j + 1]);
			B[i] = min(fl[i - 1][j - 1], fr[i - 1][j + 1]) - sum[i - 1][j];
		}
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
		{
			while(l <= r && i - q[l] >= k) l ++;
			while(l <= r && B[q[r]] >= B[i]) r --;
			q[++r] = i;
			ans = min(ans, A[i] + B[q[l]]);
		}
	}