定义：
对于两个数论函数(f)和(g)，定义((f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)cdot g(frac{n}{d}))
并且我们可以发现，狄利克雷卷积是满足交换律，结合律以及分配律的。
你或许还需要知道一些完全积性函数：
1、(I(n))不变的函数，定义为(I(n)=1)
2、(id(n))单位函数，定义为(id(n)=n)
3、(ε(n))定义为：(ε(n)=[n==1])。为狄利克雷卷积的乘法单位。
这些函数在接下来将很有用
很显然，是不是有(mu*I=ε)
证明莫比乌斯反演
那么接下来我们来证明莫比乌斯反演吧：
[F(n)=sum_{d|n}f(d)
]
那么有
[F=f*I
]
想到(mu*I=ε)，考虑在等式两边卷上一个$mu $
[F*mu=f*I*mu\
F*mu=f*ε
]
然而(f*ε=f)（可以自己想想）
然后就得出了
[f(n)=sum_{d|n}F(frac{n}{d})mu(d)
]
如果定义
[F(n)=sum_{n|d}f(d)
]
就可以得出莫比乌斯反演的另一种形式
[f(n)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d)
]
杜教筛
杜教筛是一种可以快速求出积性函数前缀和的算法
假设我们现在需要求(sum_{i=1}^{n}h[i])
而(n)高达(10^9)，线性筛就做不了了
我们设(f,g)，并且(f*h=g)
那么我们设(S[n]=sum_{i=1}^{n}h[i])
[sum_{i=1}^{n}g(i)=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}f(d)h(frac{i}{d})\
sum_{i=1}^{n}g(i)=sum_{d=1}^{n}f(d)sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}h(i)\
sum_{i=1}^{n}g(i)=sum_{d=1}^{n}f(d)h(lfloorfrac{n}{d}
floor)\
S(n)f(1)=sum_{i=1}^{n}g(i)-sum_{d=2}^{n}f(d)S(lfloorfrac{n}{d}
floor)\
S(n)=frac{sum_{i=1}^{n}g(i)-sum_{d=2}^{n}f(d)S(lfloorfrac{n}{d}
floor)}{f(1)}\
]
(f(1))很容易知道，对于右边里的(S(lfloor frac{n}{d} floor))递归求解就好了
但是(g,f)的选择不是固定的，需要凭经验选取
狄利克雷卷积应用
1、可以用来判断积性函数，积性函数和积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数
由于博主才疏学浅，可能讲的有些不清楚，会后续更改补充