证明思路来源于 DZYO 发的博客
Cayley-Hamilton 定理：
设 ( extbf A) 是 n阶矩阵，(f(lambda)=det(lambda extbf I- extbf A))，为其特征多项式，则 (f( extbf A)= extbf0)。
证明：
考虑令 ( extbf{B}=lambda extbf I- extbf A, extbf C= extbf{B}^*) ，那么有 ( extbf{BC}= extbf{CB}=det(lambda extbf I- extbf A) extbf I=f(lambda) extbf I)
考虑到 ( extbf C_{i,j}) 是关于实数 (lambda) 的 (n-1) 次多项式，( extbf B_{i,j}) 是关于实数 (lambda) 的 (1) 次多项式，那么可以把 ( extbf B, extbf C) 都拆分成矩阵多项式然后再乘起来，结果是一个 (n) 次的矩阵多项式 (F(lambda)=f(lambda) extbf I)，注意到这个地方多项式乘法的时候需要计算 (a_ilambda^i imes b_jlambda^j)，因此该矩阵多项式是一个矩阵的多项式必须要带入的矩阵 ( extbf X) 必须满足 ( extbf X) 与 (a_i,b_i) 都可以交换才行。
根据上面得到的等式可以推出 (F_i=f_i extbf I) ，由于 ( extbf A) 是可以和 (a_i,b_i) 交换的，因此可以将 (lambda) 替换成 ( extbf A)
于是 (F( extbf A)= extbf0=f( extbf A) extbf I)
(Rightarrow f( extbf A)=0)
得证