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  • Tutte 定理与 Tutte–Berge 公式

    Tutte theorem

    (G=(V,E)) 有完美匹配当且仅当满足 (forall Usubseteq V,o(G-U)le|U|,o(X)) 表示 X 子图的奇连通块数。

    Tutte–Berge formula

    (G=(V,E)) 的最大匹配数为 (frac12minlimits_{Usubseteq V}{|U|-o(V-U)+|V|})

    Tutte 定理证明

    必要性

    如果 G 有完美匹配,那么每个奇连通块至少有一个点需要与 U 中的点匹配,故得证.

    充分性

    定义坏集 S 满足 (|S|<o(G-S)) ,那么图 G 中不能存在坏集。
    如果 S 是 G 的坏集,那么 S 也一定是 G 的导出子图的坏集。
    于是不妨令 G 满足 G 不存在完美匹配,且加入任意一条不在 G 中的边后存在完美匹配。
    令 S 为满足度数为 (|V|-1) 的点集,首先考虑 (G-S) 中的每个连通块都是团的情况,容易发现 S 一定是坏集。
    于是 (G-S) 中至少有一个连通块不是团,考虑把这个连通块扯出来讨论,我们找出其中两个没有边直接相连的点 (x,y) ,设从 (x ightarrow y) 最短路上的头三个点为 (a,b,c) ,那么显然 ((a,c) otin E) ,且一定存在点 (d) 满足 ((b,d) otin E)
    由于上面限制了 G 加入任意一条不在 G 中的边后都存在完美匹配,因此我们设 (M_1)((V,Ecup(a,c))) 的一组完美匹配, (M_2)((V,Ecup(b,d))) 的一组完美匹配,显然 ((a,c)in M_1,(M_2)in M_2) (第一次走 (M_1) 的)。
    然后定义 P 是在 G 上面从 d 出发,交替走 (M_1,M_2) 中的边得到的最长路径,显然最后会落在 (a,b,c) 点中的一个。
    如果落在 b 点,我们令 (C=Pcup(b,d)) ,否则令 (C=Pcup(a/c,b)cup(b,d)) ,这样 C 就是一个偶环,对于 C 我们选择不在 (M_2) 中的边可以形成一组新的匹配,对于 (G-C) 中的点我们按照 (M_2) 中的边匹配,这样就形成了一组新的完美匹配,故得证.

    Tutte-Berge 公式与 Tutte 定理等价性证明

    定义 (def(G)) 表示图 G 最大匹配中未被覆盖定点数, ( u(G)) 表示 G 的最大匹配数,那么显然有 (def(G)=|V|-2 u(G)).

    Tutte-Berge formula (Rightarrow) Tutte theorem

    移项即可

    Tutte theorem (Rightarrow) Tutte-Berge formula

    (delta'(G)=maxlimits_{Usubseteq V}{o(V-U)-|U|}) ,并设 (S) 是取得最大值时的 (U) ,即证 (delta'(G)=def(G))
    显然有 (delta'(G)ge0) ,下面根据 (delta'(G)) 的取值进行分类讨论。

    1. (delta'(G)=0) ,那么满足 Tutte 定理的条件,整张图存在完美匹配, (delta'(G)=def(G)=0)
    2. (delta'(G)>0) ,那么一定有若干奇连通块存在点在 X 中未被覆盖,设该个数为 (x)(o(G-X)=y) ,那么一定满足 (xge y-|X|)(xle def(G)) ,因此 (delta'(G)le def(G))成立。
      另一方面,考虑构造一个有 (delta'(G)=0) 个点的完全图 H ,然后跟 G 拼一个新图 (G'=(V_Hcup V_G,E_Hcup E_Gcup{(u,v)|uin V_H,vin V_G}))
      容易在利用 Tutte 定理简单讨论后证明 G' 有完美匹配,因此 (|V_H|=delta'(G)ge def(G)) ,因此 (delta'(G)=def(G)) ,故 Tutte-Berge 公式得证.
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