最小生成树(MST)

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最小生成树

1.定义

2.kruskal 算法

3.Prim 算法

1.定义

G=(V,E)为连通无向图，V为结点的集合，E为结点的可能连接边

对每条边(u ,v)都赋予权重w(u ,v)

目标：找到一个无环子集T, 既能将所有结点连接起来，又具有最小权重。

T是由G生成的树，并把这种问题叫做最小生成树问题。

2.kruskal算法

主要思想：

将V的每个结点定义为一棵树，并定义根节点（代表）为该节点，将E中的边按权重从小到大依次处理。

首先判断边的两个结点是否属于同一棵树（根据根节点是否一致），若不是，则合并两棵树，并更新根节点；若是，则不予理会。

（这里是为了形成无环集合，保证权重和最小

如下图f所示，结点i、g已合并为一棵树，根节点一致，所以ig边不再纳入集合）

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

global G G.VV=char(97:105); G.V=cell(9,1); G.Adj={'ab';'ah';'bc';'bh';'hi';'hg';'ig';'gf';'cf';'cd';'df';'de';'ef';'ic'}; G.Bdj=[4;8;8;11;7;1;6;2;4;7;14;9;10;2]; A=[]; for i=1:length(G.VV) %MAKE-SET     G.V{i}.p=G.VV(i);     G.V{i}.rank=0; end [wei,index]=sort(G.Bdj); la=G.Adj(index); for i=1:length(la)     x=la{i};     a1=find(G.VV==x(1));     a2=find(G.VV==x(2));     if find_set(a1)~=find_set(a2)         A=[A;x];         union(a1,a2);     end end     function  k= find_set(i) %找到集合的代表，也就是根节点 global G if G.V{i}.p~=G.VV(i)%这里的G.V{i}.p是G.VV(i)所在子树的根节点     %函数的目标是找到合并之后的树（集合）的的结点     j=find(G.VV==G.V{i}.p);     G.V{i}.p=find_set(j);%不断更新，直到找到集合的根节点 end k=G.V{i}.p; end   function union(i,a) %合并两个集合，并更新集合的根节点 %更新的原则是看子树的结点数目，多的那个的子树的代表当根节点 %注意，这里并没有更新子树的根节点，这一步骤是在find_set里完成的 global G x=find_set(i); y=find_set(a); aa=find(G.VV==x); bb=find(G.VV==y); if G.V{aa}.rank>G.V{bb}.rank     G.V{bb}.p=G.VV(aa); else     G.V{aa}.p=G.VV(bb);     if G.V{aa}.rank==G.V{bb}.rank         G.V{bb}.rank=G.V{bb}.rank+1;     end end  end

　　

运行结果：

A =

hg
gf
ic
ab
cf
cd
ah
de

d=37

3.prim 算法

关于轻量级边的定义：

主要思想：

给定连通图G和任意根节点r，最小生成树从结点r开始，一直长大到覆盖V中所有结点为止，即不断寻找轻量级边以实现最小权重和

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

%最小生成树-prim算法 G.VV=char(97:105); G.Adj={'bh';'ahc';'bifd';'cfe';'df';'cdeg';'ihf';'abig';'cgh'};%邻接链表 G.Bdj={[4 8];[4 11 8];[8 2 4 7];[7 14 9];[9 10];[4 14 10 2];[6 1 2];[8 11 7 1];[2 6 7]};%邻接链表对应权重 Q=G.VV; Q(Q==G.VV(1))=[]; r=1; x(r)=G.VV(1);%给定初始点 d=0;   while length(Q)~=0     [wei,index]=sort(unionwei(G,x,r));%！！！关键点，目的是横跨（V-Q,Q）的轻量级边的一个端点，即权重最小的一个点     u=unionla(G,x,r);     u=u(index);     for i=1:length(u)         if find(Q==u(i))             k=i;             break;         end     end     d=d+wei(k);     r=r+1;     x(r)=u(k);               Q(Q==u(k))=[];%找到后Q中删除，以保证每个点只被访问一次 end fprintf('path:');x fprint(' '); fprintf('d= %d ',d);     function wei0=unionwei( G,x,r ) %合并权重向量，方便排序 wei0=[]; for i=1:r     a=find(G.VV==x(i));     wei1=G.Bdj{a};     wei0=[wei0 wei1]; end end   function la0 = unionla(G,x, r ) %合并权重对应的边 la0=[]; for i=1:r     a=find(G.VV==x(i));     la1=G.Adj{a};     la0=[la0 la1]; end end

　　

　　

运行结果：

path:
x =

abhgfcide

d= 37