欧拉函数随笔

• 定义

　　在数论中，对正整数n，欧拉函数phi(n)是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目。

• 通式

　　phi(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn),其中，p1,p2...pn为n的质因数。

　　证明：

　　将n表示成素数的乘积形式： n=p1^k1*p2^k2...pn^kn,

　　可得，phi(n)=(p1^k1-p1^(k1-1))...*(pn^kn-pn^(kn-1))

　　next,phi(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)..(1-1/pn),其中，p1,p2..pn均为素数。

　　其中，当n=p^k时，1到n中p的倍数与n并不互素，这样的数有n/p个。

• 性质(递推关系)(p为n的质因数)

　　若n%p==0 && (n/p)%p==0,则phi(n)=phi(n/p)*p;

　　若n%p==0 && (n/p)%p!=0,则phi(n)=phi(n/p)*(p-1);

• 算法实现

• int p[MAXN],phi[MAXN];
  
  void solve(int N)
  {
      for(int i=1; i<=N; i++)
      {
          p[i] = 1; // 1 for prime number
          phi[i] = i;
      }
  　　 p[1] = 0;
      for(int i=1; i<=N; i++)
      {
          if(p[i])
          {
              for(int j=2*i; j<=N; j+=i)
                  p[j] = 0;
          }
      }
      for(int i=2; i<=N; i++)
      {
          if(p[i])
              for(int j=i; j<=N; j+=i)
                  phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
      }
  }

•  应用

　　欧拉函数的主要应用是欧拉定理以及运用ploya定理时对指数循环节进行优化，有待补充。