中国剩余定理

• 描述

 　　　对于同余方程组S：

\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
x & \equiv & a_{1} (mod \quad m_{1}) \\
x & \equiv & a_{2} (mod \quad m_{2}) \\
& \vdots & \\
x & \equiv & a_{n} (mod \quad m_{n}) \\
\end{array}
\end{equation}

中国剩余定理说明，假设整数m₁,m₂...m_n 两两互质,则对任意的整数a₁,a₂...a_n， 方程S有整数解，它的通解为

\begin{equation}
x = a_{1}M_{1}M_{1}^{-1}+a_{2}M_{2}M_{2}^{-1}+ \ldots + a_{n}M_{n}M_{n}^{-1} + kM = kM+\sum _{i=1}^{n} a_{i}M_{i}M_{i}^{-1}
\end{equation}

并且在模

\begin{align}\notag 
M = m_{1} \times m_{2} \times \ldots  \times m_{n}
\end{align}

  

下的解是唯一的，解为

\begin{align}\notag 
x \equiv (a_{1}M_{1}M_{1}^{-1}  + a_{2}M_{2}M_{2}^{-1} +  \ldots +a_{n}M_{n}M_{n}^{-1}) mod \quad M
\end{align} 

          

其中 M_i = M / m_i, 而 M_i^-1 为M_i 模m_i的逆元 

 

• 证明

从假设可知， 由于m两两互质, 所以gcd(m_i,M_i)=1,所以对于x=a₁M₁M₁^-1+a₂M₂M₂^-1+...+a_nM_nM_n^-1，满足

\begin{equation}
x = a_{i}M_{i}M{i}^{-1} + \sum _{i \neq j}a_{j}M_{j}M_{j}^{-1} \equiv a_{i}+ \sum _{i \neq j} 0 \equiv a_{i} (mod \quad m_{i}) (i \in \{1,2, \ldots , n \})
\end{equation}

这说明x是方程组S的解 

• 应用

　　POJ 1006