[APIO2014]序列分割

解析

首先我们得明确：分割的顺序是无所谓的
不然我们很难列出转移方程
那为什么呢？
假若当前我们把某段序列分成三段，依次记为 (x,y,z)，每段和记为 (s_x , s_y , s_z)
那么如果我们先分出 (x,y) ，那么 (ans = s_x imes (s_y+s_z) + s_y imes s_z)
另一种 (ans = (s_x + s_y) imes s_z + s_x imes s_y)
可以发现两种是一样的

好了，那么我们就可以有 (f_{i,l} = f_{j,l-1} + s_j imes (s_i-s_j))
然后套路斜率优化
(j>k) 最后有

[frac{(f_{j,l-1} - s_j^2)-(f_{k,l-1} - s_k^2)}{(-s_j)-(-s_k)} < s_i ]

维护下凸壳，单调队列即可

(Code)

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 5;
LL f[N][2] , s[N];
int n , k , pre[N][205] , q[N] , l , r;

double slope(int t , int u , int v)
{
	if (s[u] == s[v]) return 1.0 / 0.0;
	return 1.0 * (f[u][t & 1] - s[u] * s[u] - (f[v][t & 1] - s[v] * s[v])) / (s[v] - s[u]);
}

int main()
{
	scanf("%d%d" , &n , &k);
	for(register int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d" , s + i) , s[i] += s[i - 1];
	for(register int t = 1; t <= k; t++)
	{
		l = r = 1;
		for(register int i = 1; i <= n; i++)
		{
			while (l < r && slope(t - 1 , q[l] , q[l + 1]) < s[i]) l++;
			f[i][t & 1] = f[q[l]][t & 1 ^ 1] + s[q[l]] * (s[i] - s[q[l]]);
			pre[i][t] = q[l];
			while (l <= r && slope(t - 1 , q[r] , q[r - 1]) > slope(t - 1 , q[r] , i)) r--;
			q[++r] = i;
		}
	}
	printf("%lld
" , f[n][k & 1]);
	int x = n;
	while (pre[x][k] != 0) printf("%d " , pre[x][k]) , x = pre[x][k--];
}