约瑟夫环问题

题目

n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

分析

思路一：环形队列

既然题目有一个数字圆圈，很自然的想法是我们用一个数据结构来模拟这个圆圈。在常用的数据结构中，我们很容易想到用环形队列。我们可以创建一个总共有n个数字的环形队列，然后每次从这个队列中删除第m个元素。

这种思路需要一个有n个节点的环形对列来模拟这个删除的过程，因此内存开销为O(n)。而且这种方法没删除一个数字需要m步运算，总共有n个数字，因此总的时间复杂度为O(mn)。当 m 和 n 都很大的时候，这种方法是很慢的

思路二：数学规律

接下来我们试着从数学上分析出一些规律。首先定义最初的 n 个数字(0,1,...,n-1)中最后剩下的数字是关于 n 和 m 的方程f(n,m)

在这 n 个数字中，第一个被删除的数字是 (m-1)%n，为简单起见记为 k 。那么删除 k 之后的剩下 n-1 的数字为 0,1,...,k-1,k+1,...,n-1，并且下一个开始计数的数字是 k + 1。相当于在剩下的序列中，k+1 排在最前面，从而形成序列k+1,...,n-1,0,...,k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n 和 m 的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样(最初的序列是从0开始的连续序列)，因此该函数不同于前面的函数，记为 f'(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下的数字f'(n-1,m)，所以f(n,m)=f'(n-1,m)

接下来我们把剩下的这 n-1 个数字的序列k+1,...,n-1,0,...k-1 作一个映射，映射的结果是形成一个从0到 n - 2 的序列：
k+1->0, k+2->1, ..., n-1 -> n-k-2, 0-> n-k-1, ..., k-1->n-2

把映射定义为 p，则 p(x) = (x - k - 1) % n，即如果映射前的数字是 x ,则映射后的数字是 (x-k-1)%n。对应的逆映射是 p^-1(x) = (x + k + 1) % n。

由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式。都是从0开始的连续序列，因此仍然可以用函数 f 来表示，记为 f(n-1,m)。根据我们的映射规则，映射之前的序列剩下的最后数字 f'(n-1) = p^-1[f(n-1,m)] = [f(n-1,m) + k + 1] % n。把 k=(m-1)%n代入得到f(n,m) = f'(n-1,m)=[f(n-1,m) +m]%n

经过上面的复杂分析，我们终于得到一个递归的公式。要得到 n 个数字的序列的最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列的最后的数字，并可以依此类推。当 n=1 时，也就是序列中开始只有一个数字 0，那么很显然最后剩下的数字就是0，我们可以把这种关系表示为：

f(n,m)=0, n = 1; f(n,m) = [f(n-1,m)+m]%n, n > 1

尽管得到这个公式的分析过程非常复杂，但它用递归或者循环都很容易实现。最重要的一点，这是一种时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)的方法，因此无论在时间上还是空间上都优于前面的思路。

代码

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
       	if(n < 1 || m < 1) return -1;
        
       	if(n == 1)
           	return 0;
        
        return (LastRemaining_Solution(n - 1, m) + m) % n;
    }
};