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  • 错排

    递推的推导错排公式编辑
    当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示,那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
    第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
    第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况:⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有D(n-1)种方法;
    综上得到
    D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
    特殊地,D(1) = 0, D(2) = 1.
    下面通过这个递推关系推导通项公式
    为方便起见,设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,
    则N(1) = 0, N(2) = 1/2.
    n ≥ 3时,n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)
    即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)
    于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.
    因此
    N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,
    N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!.
    相加,可得
    N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!
    因此
    D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].
    此即错排公式
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