协同过滤中相似度的计算很有技巧性，下面对比几种计算的方式。
假设输入的Item-User矩阵为：
| $U_1$ | $U_2$ | $U_3$ | |
| $I_1$ | 3 | 4 | |
| $I_2$ | 3 | 2 | |
| $I_3$ | 2 | 3 | |
| $I_4$ | 4 | 2 |
设用户共有M个，Item共有N个，在本例子中，$M=3,N=4$。矩阵中为空的元素代表对应的用户对Item没有行为，也可以认为该用户对该Item的评分为0.
一、用二维数组依次计算
这种方式的实现步骤如下：
1、遍历User，依次取出$U_1,U_2,U_3$。当取到$U_1$的时候，计算所有item之间的相似度，此处以余弦方式度量相似度。因为相似度矩阵是一个对称矩阵，所以只计算上三角或者下三角即可。当计算$U_2$的时候，需要累加$U_1$的计算结果，$U_3$同样要累加前面的计算结果，这样当user遍历完成之后，即可得到两个Item之间的内积，当然余弦相似度还要除以两个Item的模长的乘积。模长的计算可以在遍历User的时候同步计算。
计算内积的具体过程为：
$$U_1Rightarrow egin{cases} I_1Rightarrow egin{cases} cos(I_1,I_2) = 3 imes 0 cr cos(I_1,I_3) = 3 imes 2 cr cos(I_1,I_4) = 3 imes 0 cr end{cases} cr I_2Rightarrow egin{cases} cos(I_2,I_3) = 0 imes 2 cr cos(I_2,I_4) = 0 imes 0 cr end{cases} cr
I_3Rightarrow egin{cases} cos(I_3,I_4) = 2 imes 0 cr end{cases} end{cases}$$
$$U_2Rightarrow egin{cases} I_1Rightarrow egin{cases} cos(I_1,I_2) += 0 imes 3 cr cos(I_1,I_3) += 0 imes 3 cr cos(I_1,I_4) += 0 imes 4 cr end{cases} cr I_2Rightarrow egin{cases} cos(I_2,I_3) += 3 imes 3 cr cos(I_2,I_4) += 3 imes 4 cr end{cases} cr
I_3Rightarrow egin{cases} cos(I_3,I_4) += 3 imes 4 cr end{cases} end{cases}$$
$$U_3Rightarrow egin{cases} I_1Rightarrow egin{cases} cos(I_1,I_2) += 4 imes 2 cr cos(I_1,I_3) += 4 imes 0 cr cos(I_1,I_4) += 4 imes 2 cr end{cases} cr I_2Rightarrow egin{cases} cos(I_2,I_3) += 2 imes 0 cr cos(I_2,I_4) += 2 imes 2 cr end{cases} cr
I_3Rightarrow egin{cases} cos(I_3,I_4) += 0 imes 2 cr end{cases} end{cases}$$
2、用内积除以模长得到余弦相似度，这一步比较简单，不详细讨论。
现在来分析一下这种方法的时间复杂度。很明显要遍历User，上面已经假设User的数量为M，而对每一个User而言，要计算所有Item两两之间的相似度，因之需要计算相似度矩阵的上三角或下三角，所以其计算的次数为：
$$frac{N cdot (N-1)}{2}$$
考虑所有的用户，还要在上面的基础上再乘以$M$，所以最后的次数为：
$$frac{Mcdot N cdot (N-1)}{2}$$
二、采用HashMap查找计算
这种方法只计算User-Item矩阵中值不为空的元素，对稀疏的矩阵而言，没有冗余的计算。但是需要额外构造一个ItemHashMap，从遍历ItemHashMap开始。
在ItemHashMap中，Item为key，User为value。
1、遍历ItemHashMap，依次取出$I_1,I_2,I_3,I_4$。取到$I_1$的时候，先从ItemHashMap中查找看过该Item的User有哪些，在本例子中为$U_1,U_3$。然后再分别计算这些User中每个User看过的Item之间的相似度，这一步很重要，是为了避免计算User-Item矩阵中为空的元素。
2、用户$U_1$看过的Item有$I_1,I_3$，用户$U_3$看过的Item有$I_1,I_2,I_4$。那么作如下计算：
$$I_1Rightarrow egin{cases} U_1Rightarrow egin{cases} cos(I_1,I_3) = 3 imes 2 end{cases} cr U_3Rightarrow egin{cases} cos(I_1,I_2) = 4 imes 2 cr cos(I_1,I_4) = 4 imes 2 cr end{cases} end{cases}$$
3、同理，可以这样计算$I_2,I_3,I_4$。因为是对称矩阵，只需要计算相似度矩阵上三角或者下三角即可。如下所示：
$$I_2Rightarrow egin{cases} U_2Rightarrow egin{cases} cos(I_2,I_3) = 3 imes 3 cr cos(I_2,I_4) = 3 imes 4 end{cases} cr U_3Rightarrow egin{cases} cos(I_2,I_4) = 2 imes 2 end{cases} end{cases}$$
$$I_2Rightarrow egin{cases} U_2Rightarrow egin{cases} cos(I_3,I_4) = 3 imes 4 end{cases} end{cases}$$
假设平均每个Item被P个用户看过，平均每个用户看过Q个Item，那么应当有：
$$N cdot P=M cdot Q$$
分析上面的过程，不难发现，这种方式的计算次数为：
$$frac{N cdot P cdot (Q-1)}{2}$$
在实际的数据中，User-Item矩阵必然是稀疏，如果User-Item矩阵一点都不稀疏，也即没有不为空的元素，那么也就失去了推荐的意义，因为对于每一个用户而言，他把所有的Item都看过了，那还给他推荐什么呢？正常情况下，应该有$P ll M$，所以这种算法是有意义的。
上面两种方法计算的相似度矩阵是一致的，如下所示：
| $I_1$ | $I_2$ | $I_3$ | $I_4$ | |
| $I_1$ | 8 | 6 | 8 | |
| $I_2$ | 9 | 16 | ||
| $I_3$ | 12 | |||
| $I_4$ |
三、只使用UserHashMap实现
这种方式在实现第二种方式达到的效果之外，还可以节省空间。大概的思想是，遍历UserHashMap，每取到一个User之后，先获取该User所看过的Item，然后计算这些看过的Item两两之间的相似度，然后将结果保存在相似度矩阵中，后面的User生成的相似度直接累加上去即可，这样最终的结果也就生成了。