议题：线段树（Interval Tree）
分析：
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线段树是一种二叉搜索树，将一个大区间划分成单元区间，每个单元区间对应一个叶子节点；内部节点对应部分区间，如对于一个内部节点[a, b]而言，其左子节点表示的区间为[a, (a+b)/2]，其右子节点表示的区间为[1+(a+b)/2, b]；
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对于区间长度为N的线段树，由于其单元节点都是[a, a]的叶子节点，所以其叶子节点数为N，并且整棵树为平衡二叉树，所以总节点数为2N-1，树的深度为log(N)+1；
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插入操作：将一条线段[a, b]插入到区间长度为[l, r]的线段树root中，如果root不是单元节点，则求得mid=(l+r)/2；（删除和查找操作类似）
如果b<=mid，则将[a, b]插入到root->left子树中；
如果a=b=mid，则将[a, b]插入到root->left子树中，
如果a=mid<b，则将[a, a]插入到root->left子树中，[a+1, b]插入到root->right子树中；
如果a>mid，则将[a, b]插入到root->right子树中；
如果a<mid<b，则将[a, mid]插入到root->left子树，将[mid+1, b]插入到root->right子树中 -
线段树最主要的应用是判定几个给定区间之间的关系，判定某一个区间A是否在若干个目标区间内出现，时间复杂度为O(MlogN)，M为A的区间长度，N为 构建线段树的整个区间长度；但原始的线段树需要表示每一个单元区间，所以空间复杂度较高为2N，优化方案是离散化（Discretization）压缩线 段树区间；但是由于线段树每个节点上需要维护一个int的计数变量（记录其子树被覆盖的次数），所以每次插入或者删除操作都需要O(N)的时间维护线段树 的正确性，可以为每一个节点增加一个延迟标记的delta值（Delay Mark），这个值记录当前节点所在的区间需要进行的修改（但是还没有对其左右子树的节点进行修改），当查询路径需要到其左右子树中时，将这个delta 值传递给其左右子树，而将本节点保存饿delta值去除；
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一道利用线段树的题目：给定一个自然数集合，自然数的范围是[0,30000]，现在已知N条线段，每条线段以[a,b]的形式给出，现在有M个数字，要求判断每个数字分别在多少条线段上出现过；
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一般解法是将M个数字分别于N条线段比较判断，时间复杂度为O(MN)；可以利用线段树记录N条线段在[0, 30000]范围内出现的次数和位置，然后利用二叉树的O(logN)查找时间判断每个数字最终出现的线段；
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首先是按照给定的元素范围构建线段树的框架；如给定[0, 7]，则利用线段树为满二叉树的性质，其节点个数为2N-1=15；基本存储结构为数组，如果当前节点为array[i]，则array[2*i]和 array[2*i+1]分别为左右子节点；节点内拥有一个记录本节点代表的线段出现的次数，初始化为0；时间复杂度为O(logK)，K为给定的区间范 围；
- 然后将给定的N条线段插入到已经构建好的线段树框架中；如给定三条线段：[2,5],[4,6],[0,7]，依次插入则最终成为一棵可用的线段树；时间复杂度为O(NlogK)
- 最后是查询给定的M个点在N条线段出现的次数；如给定数字2，则递归到线段树中的节点[2,2]，并将经过的节点的count值累加起来，最终就是数字2在给定的线段集合内出现的次数；
样例：
1 /** 2 * count记录这条线段出现的次数 3 * */ 4 struct Interval { 5 int left; 6 int right; 7 int count; 8 }; 9 10 /** 11 * 此函数用于创建线段树的基本结构，InterTree是一个元素为Interval类型的指针数组 12 * 其大小为2*(max-min+1)，也就是满二叉树； 13 * */ 14 void ConstructIT(int min, int max, Interval** InterTree, int index) { 15 /** 16 * 构建当前节点 17 * index用于索引InterTree中当前元素的位置 18 * 遵循父节点为i，则左右子节点分别为2*i, 2*i+1 19 * */ 20 Interval *temp=new Interval(); 21 temp->count=0; 22 temp->left=min; 23 temp->right=max; 24 InterTree[index]=temp; 25 /** 26 * 如果min和max相等，则说明已经到叶子节点 27 * */ 28 if(min==max) 29 return; 30 /** 31 * 分别递归创建左右子节点 32 * */ 33 int middle=(min+max)/2; 34 ConstructIT(min,middle,InterTree,index*2); 35 ConstructIT(middle+1,max,InterTree,index*2+1); 36 } 37 /** 38 * 此函数用于注入线段树的线段标记信息 39 * */ 40 void InsertInfor(int min, int max, Interval** InterTree, int index) { 41 /** 42 * 构建线段树的时候，middle本身属于left子树 43 * */ 44 int middle=(InterTree[index]->left + InterTree[index]->right)/2; 45 46 if(max<=middle) { 47 /** 48 * 插入线段完全在middle左边 49 * */ 50 InsertInfor(min, max, InterTree, 2*index); 51 } else if(min>middle) { 52 /** 53 * 插入线段完全在middle右边 54 * */ 55 InsertInfor(min, max, InterTree, 2*index+1); 56 } else if(min==InterTree[index]->left && 57 max==InterTree[index]->right) { 58 /** 59 * 插入线段恰好是节点本身的端点范围，有可能是叶子节点 60 * */ 61 InterTree[index]->count+=1; 62 return; 63 } else if(InterTree[index]->left==InterTree[index]->right) { 64 /** 65 * 已经到达叶子节点，但是min和max仍旧不等，错误返回 66 * */ 67 return; 68 } else { 69 /** 70 * middle将待插入的线段分成两段 71 * */ 72 InsertInfor(min, middle, InterTree, 2*index); 73 InsertInfor(middle+1, max, InterTree, 2*index+1); 74 } 75 } 76 /** 77 * 此函数用于检查覆盖区间，注意此时的min和max可能超出 78 * InterTree的范围 79 * */ 80 int CheckInterval(int min, int max, Interval** InterTree, int index) { 81 int middle=(InterTree[index]->left + InterTree[index]->right)/2; 82 if(max<middle) { 83 return CheckInterval(min, max, InterTree, 2*index); 84 } else if(min>middle) { 85 return CheckInterval(min, max, InterTree, 2*index+1); 86 } else if(min==InterTree[index]->left && 87 max==InterTree[index]->right) { 88 return InterTree[index]->count; 89 } else { 90 return CheckInterval(min, middle, InterTree, 2*index)+ 91 CheckInterval(middle+1, max, InterTree, 2*index+1); 92 } 93 } 94 95 void Crossover(int *first, int lfirst, int *second, int lsecond) { 96 /** 97 * 获取first和second数组中各自的最大值与最小值的差值 98 * 选取差值较小的一个范围作为线段树的构建区间 99 * 节省空间消耗 100 * */ 101 int minf=0, maxf=0,mins=0,maxs=0; 102 for(int i=1;i<lfirst;i+=2) { 103 if(maxf<first[i]) 104 maxf=first[i]; 105 if(minf>first[i]) 106 minf=first[i]; 107 } 108 for(int i=1;i<lsecond;i+=2) { 109 if(maxs<second[i]) 110 maxs=second[i]; 111 if(mins>second[i]) 112 mins=second[i]; 113 } 114 int min=minf,max=maxf; 115 int isFirst=true; 116 if((max-min)>(maxs-mins)) { 117 min=mins; 118 max=maxs; 119 isFirst=false; 120 } 121 /** 122 * 构建一个数组，数组元素为Interval*类型， 123 * 数组大小为线段树节点个数，由于线段树是 124 * 完全二叉树，所以节点数肯定为2N-1，N为区间 125 * 大小，也为叶节点数 126 * */ 127 Interval *InterTree[2*(max-min+1)-1]; 128 /** 129 * 首先构建线段树的基本结构 130 * */ 131 ConstructIT(min, max, InterTree, 0); 132 /** 133 * 然后将线段树范围大小对应的区间数组元素 134 * 插入到线段树中，如果区间在线段树之外则 135 * 需要特殊处理 136 * */ 137 int *temp=NULL, length=0; 138 int overlapSize=0; 139 if(isFirst) { 140 for(int i=1;i<lfirst;i+=2) { 141 if(first[i]<InterTree[0]->left || 142 first[i-1]>InterTree[0]->right) 143 continue; 144 else if(first[i]==InterTree[0]->left || 145 first[i-1]==InterTree[0]->right) 146 overlapSize++; 147 else 148 InsertInfor(first[i-1],first[i], InterTree, 0); 149 } 150 temp=second; 151 length=lsecond; 152 } else { 153 for(int i=1;i<lsecond;i+=2) { 154 if(second[i]<InterTree[0]->left || 155 second[i-1]>InterTree[0]->right) 156 continue; 157 else if(second[i]==InterTree[0]->left || 158 second[i-1]==InterTree[0]->right) 159 overlapSize++; 160 else 161 InsertInfor(second[i-1],second[i], InterTree, 0); 162 } 163 temp=first; 164 length=lfirst; 165 } 166 /** 167 * 顺序将temp中的区间元素插入到InterTree中 168 * */ 169 170 for(int i=1;i<length;i+=2) { 171 length+=CheckInterval(temp[i-1],temp[i],InterTree,0); 172 } 173 }
参考连接：
http://hi.baidu.com/alpc62/blog/item/469edeca0043e382c8176875.html