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  • [转] 如何理解无偏估计量?

    现实中常常有这样的问题,比如,想知道全体女性的身高均值μ ,但是没有办法把每个女性都进行测量,只有抽样一些女性来估计全体女性的身高:

     

    那么根据抽样数据怎么进行推断?什么样的推断方法可以称为“好”?

    1 无偏性

    比如说我们采样到的女性身高分别为:

     

    那么:

     

    是对 μ不错的一个估计,为什么?因为它是无偏估计。

    首先,真正的全体女性的身高均值μ ,我们是不知道,只有上帝才知道,在图中就画为虚线:

     

    我们通过采样计算出 

     

    会发现,不同采样得到的是围绕μ左右波动的:

    这有点像打靶,只要命中在靶心周围,还算不错的成绩:

     

    如果用以下式子去估计方差 σ2

    根据“为什么样本方差的分母是 n-1?”的解释,就会产生偏差:

     

    这个偏差经过计算,就是:

     

    这种偏差就好像瞄准镜歪了,是系统性的:

     

    就此而言,无偏估计要好于有偏估计。

    2 有效性

    打靶的时候,右边的成绩肯定更优秀:

     

    进行估计的时候也是,估计量越靠近目标,效果越“好”。这个“靠近”可以用方差来衡量。

    比如,仍然对μ进行估计,方差越小,估计量的分布越接近 μ:

     

    有效估计和无偏估计是不相关的:

     

    举个例子,从N(μ,σ2)中抽出10个样本:

     

    下面两个都是无偏估计量:

     

    但是后者比前者方差小,后者更有效。

    并且在现实中不一定非要选无偏估计量,比如:

     

    如果能接受点误差,我倒觉得选择右边这个估计量更好。

    3 一致性

    之前说了,如果用以下式子去估计方差 σ2

     

    会有一个偏差:

     

    可以看到,随着采样个数n的增加,这个偏差会越来越小。那么这个估计就是“一致”的。

    如果样本数够多,其实这种有偏但是一致的估计量也是可以选的。

    4 总结

    判断一个估计量“好坏”,至少可以从以下三个方面来考虑:

    无偏

    有效

    一致

    实际操作中,要找到满足三个方面的量有时候并不容易,可以根据情况进行取舍。
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    转自:https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/82715415

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/leokale-zz/p/11161893.html
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