【数论-逆元】复习总结

一直想写总结类博客来着，但是拥有重度拖延症的我还是一拖再拖，不禁要感慨一下，去年暑假学的好多知识都忘得一干二净了(失忆(°Д°)?)，都大二了算法还是学的一塌糊涂╮(╯_╰)╭真是罪过啊。。然鹅，不会的还是要补上嘛，哈哈

昨天复习了下扩展欧几里得和乘法逆元的知识，虽然都是基础，还是希望对以后的复习与回忆有所帮助

1.a能整除b，代表b/a=整，即a|b
同余符号 ≡
含义
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作a≡b(mod m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。
比如26≡14(mod 12)。
定义
设m是大于1的正整数，a，b是整数，如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
显然，有如下事实：
(1)若a≡0(mod m)，则m|a;
(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
以下性质加深理解
　　1).反身性：a≡a (mod m)；
　　2).对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)；
　　3).传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
　　4).线性运算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么
　　　　(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)；
　　　　(2)a * c ≡ b * d (mod m)。
　　5).除法：若ac≡bc(modm),c!=0，则a≡b(modm/gcd(c,m))，特殊地，gcd(c,m)=1则a≡b(modm)；
　　6).幂运算：如果a≡b(modm)，那么a^n≡b^n(modm)；

2.扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b)

3.费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。
可以这样理解，∵a^p≡a(mod p)，根据1性质5，即a^(p-1)≡1（mod p）

4.乘法逆元，是指数学领域群G中任意一个元素a，都在G中有唯一的逆元a’，具有性质a×a'=a'×a=e，其中e为该群的单位元。若ax≡1 mod f, 则称a(关于1)模f的乘法逆元为x(即x为a的逆元)。也可表示为ax≡1(mod f)。
当a与f互素时，a模f的乘法逆元有解。如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。

对于利用拓展欧几里得算法求逆元，很显然，如果bx%p=1，那么 bx+py=1, 直接利用gcd(b, p, x, y)，则 (x%p+p)%p(x%p+p)%p 即为 b 的逆元。

对于第二种方法，因为在算法竞赛中模数p总是质数，所以可以利用费马小定理：

 可以直接得到 b 的逆元是 b^(p−2) , 使用 快速幂 求解即可。

 

但是，逆元有什么用呢？
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）

(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）

(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）

(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）
题目要求结果(a/b)%mod = (a%mod * b模mod的逆元)%mod
用扩欧算ax+by=c形式的乘法逆元需要乘以c/gcd(a,b),如果是求最小正乘法逆元，公式为(x%b+b)%b，结果如果为0就加上一个b