欧几里得算法
欧几里得算法是欧几里得（Euclid）在《几何原本》中提出的计算最大公因子的算法，被认为是最早的算法，也是人类历史上最优美的算法。
在表述算法之前，先给出算法的理论基础：
定理：设a=qb+r，其中a,b,q,r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)
证明：
若d|a且d|b，则有d|a且d|r=a-qb
若d|b且d|r，则有d|b且d|qb+r=a
这表明a与b的公因子集合与b与c的公因子集合相同，最大公因数肯定相同。
算法实现：
int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
这个算法也被叫做“辗转相除法”，为什么呢？
你看啊，这个过程先右除以左，然后左除以右，再右除以左，左除以右......，就像一个人辗转反侧，所以辗转相除法就是从算法表现得到的。我们进一步分析，会发现另一个现象。
观察输出的5是怎么得到的？
- 5=85-2*40
- 5=85-2*(210-2*85)=5*85-2*210
- 5=5*(715-3*210)-2*210=5*715-17*210
可以发现，最大公因子5可以由a,b线性表示。
裴蜀等式
定理：对于不全为0的整数a,b和d，方程sa+tb=d存在整数解s和t当且仅当gcd(a,b)|d。方程sa+rt=d称作裴蜀（Bezout）等式或贝祖等式。
证明：
（充分性）通过回代法，可知sa+tb=gcd(a,b)存在整数解s’和t’，若d=k·gcd(a,b)，则ks’,kt’是方程的一组解。
（必要性）若方程存在整数解s,t，则gcd(a,b)|sa+tb=d
参考链接：中国大学mooc 刘铎 离散数学