例1.求$13^2004$除以17的余数.
分析：遇到有关带指数的被除数的问题，我们首先考虑运用同余、互素以及费马小定理或欧拉定理，降次使被除数变小，进而求出余数。
容易直到17为素数，且(13, 17)=1，由费马小定理可知
$$13^{17-1} = 13^{16} equiv 1 (mod 17)$$
又因为$2004=16*125+4$， 所以
$$13^{2004} = 13^{16 imes 125 + 4} equiv {13}^{4}(mod 17)$$
而${13}^4={169}^2={(170-1)}^2equiv {(-1)}^2=1(mod 17)$，
因此$13^{2004} equiv 1(mod 17)$，即$13^{2004}$除以17的余数为1.
例2.求使$5^m equiv 1(mod 21)$成立的最小正整数$m$.
分析：这个式子与欧拉定理的形式相似，且(5, 12)=1，φ(21)容易求出，我们考虑使用欧拉定理.因
为(5, 12)=1，且φ(21)=12（即1~20中与21互素的有12个），由欧拉定理有
$$5^{12} equiv 1(mod 21)$$
显然$mleq {12}$，令$12=mq+r$，其中$0leq rleq m$，则有
$$5^{12}=5^{mq+r}=(5^m)^q imes 5^r$$，
所以$5^requiv 1(mod 21)$，由于m是使同余式成立的最少正整数，所以r=0，从而$m | 12$，检验12的正因数1，2，3，4，6，12，我们发现
$$5^{1} equiv 5(mod 21),\5^{2} equiv 4(mod 21),\ 5^{3} equiv 20(mod 21),\ 5^{4} equiv 16(mod 21), \ 5^{5} equiv 1(mod 21)$$
因此，最小正整数m为6.